Zornの補題の意味は何？

質問

Zornの補題の意味についての質問ですが、Zornの補題:順序集合Aの任意の全順序部分集合が有界ならぼ、Aは極大元を持つ、というのが、数学の教科書に載ってますが、意味がさっぱり分かりません。その理由を言えば、例えば、実数の区間Aとして、実数体Rの部分集合である、全順序集合{x|x is a real number, 0<x<2}をとれば、Aの任意の全順序部分集合は有界なので、Zornの補題より、Aには極大元（よって、この場合、最大値）が有る事になりますが、あきらかに、Aには極大元（最大値）はありません。私の考えではこのような矛盾が出てきてしまうので、Zornの補題の意味がわかりません。何か、その意味を勘違いしてるのでしょうか?教えてください。

回答No.4

taktta · ベストアンサー

http://okwave.jp/qa2205290.html
下記のリンク先が参考になりませんか。
また松村英之朝倉書店　　集合論をみればいいかとも思います。

参考URL：

http://okwave.jp/qa2205290.html

お礼

リンク先見てみました。参考にしてみます。あと、参考書を教えてくれてありがとうございます。

回答No.5

waseda2003

明らかに，初めに（Zornの補題の中で）述べて
いる「有界」とあとから（反例の中で）述べてい
る「有界」とでは，意味が異なっていますね。
言葉の意味や前提条件をルーズにすると，
混乱のもとになります。

誤解しないように表現するなら，Zornの補題は
「順序集合Aの任意の全順序部分集合Bが
Bにおいて極大元を持つならば，Aにおいても
極大元を持つ」ということです。

例えて言えば，「どの地域にも他の誰にも負けない
力持ちがいるのなら，世界中で考えても誰にも負け
ない力持ちがいるはずだ」と主張しているのです。
たぶんそうだとは思えるけれど，「実際いるのか？」
と言われれば自信が持てないので，
Zornさんはスゴイ！というわけです。

rose12345さんが用いている集合論の教科書は
どのように書かれているかわかりませんが，
集合論においては，定義された集合の外は
議論ができないので，「有界」と言えば
その集合の中に限界が存在するという意味
なのでしょう。
他方，微分積分学では区間（0，2）を議論の対象
としていても，全実数Rが全空間であることを前提
とすることが多いので，上限・下限が区間内には
ない場合もあるのです。

お礼

Zornの補題の意味の説明と全順序集合 A が有界であることの意味を直感的に分かりやすく説明をしてくれて、どうもありがとうございます。今まで、わけが分からないので、無視してきましたが、今、その意味を知り、とても驚いています。Zornの補題がそんなにすごい意味を持っているとは知りませんでした。とても分かりやすく丁寧な説明のおかげです。

回答No.3

koko_u_

あ、ゴメン俺が嘘ついちゃった。疲れてるみたい。退散。退散。

お礼

上のwaseda2003さんの回答へ、20ポイントを付けましたが、なぜか入りませんでした。ここでそのことを言っておきます。気ずきましたか?

回答No.2

koko_u_

>全順序集合 A が有界であるとは，
>「ある u ∈ A が存在して，任意の x ∈ A に対して x ≦ u」
> が成立することをいいます．
> ポイントは u ∈ A で，上界は A の中に入っていないとダメです．

嘘やん。u ∈ A だったら u は A の最大元になってまうがな。

質問者さんが勘違いしているのは、A の極大元が A の元とは限らないという部分です。

お礼

全順序集合 A が有界であることの意味を教えてくれてありがとうございます。おかげで、Zornの補題の意味がわかりました。

回答No.1

PRFRD

「有界」という言葉の定義を正しく理解できていません．

全順序集合 A が有界であるとは，
「ある u ∈ A が存在して，任意の x ∈ A に対して x ≦ u」
が成立することをいいます．
ポイントは u ∈ A で，上界は A の中に入っていないとダメです．

具体的に，rose12345 さんの例では，A が有界ではありません．
一見 2 が上界になっていそうな気がしますが，2 は今考えている
順序集合 A に入らないので，今の意味で A は有界ではありません．

なお，個人的な経験では，Zorn の補題を「A が有界」と述べると
rose12345 さんと同じ誤解を招くことが多いような気がしています．
そのため，自分では「A が上界を持つ」という言い方をするようにしています．

お礼

全順序集合 A が有界であることの意味を教えてくれてありがとうございます。今まで、わけの分からないものとして、無視していましたが、やっと、Zorn の補題の正しい意味が分かり、うれしく思います。