dimVが一定であることの証明

質問

線形空間Vの次元dimV、すなわち基底の元の個数は、その基底のとり方によらず一
定であることを証明せよ。
という問題がもしあったとしたら（自分でつくった問題なので変かもしれません(^_^;)
）、どう答えればいいでしょうか？

【自分の解答】
Vを構成するベクトルをa1、a2、…、an とする。それらを横に並べた行列を
A=（a1,a2,…,an）とおく。Aに基本変形を施し、できる限り単位行列に近づけた
結果、残った1の数がこの行列のランクである。ランクの数はどのように基本変形
を施しても一定である。dimVはrankAに等しいから、線形空間Vの次元dimV、すな
わち基底の元の個数は、その基底のとり方によらず一定である。（証明終）

回答No.1

koko_u_u · ベストアンサー

>ランクの数はどのように基本変形を施しても一定である。
話が逆では？どのように基本変形を施しても一定なので、それをランクと定義するのでは？

それとも rank の定義を別にした上での話？

>dimVはrankAに等しいから

「Vを構成するベクトルをa1、a2、…、an とする。」とはどういう意味ですか？ a1.... an が V の基底ということ、それとも別の意味？

dimV は「基底の元の個数は、その基底のとり方によらず一定」だからこそ定義できるんですよね？なので証明中に dim(V) が出てくるのはおかしくないですか？

ここでも dim(V) として別の定義をした上での話をしているのですか？

定義や用語をはっきりさせないと、「自分にしかわからない証明」になってしまいますよ。

補足

意味不明な質問になってしまってすみません。

a1.... an が V の基底ということのつもりでした。

何の定義も前提にしてないです。
問題としておかしいので、わからないところがあったらまた再質問しようと思います。
回答ありがとうございました。