数学I 三角比の質問です。

質問

数学I 三角比の質問です。
AB=2、BC=CD=3、DA=４である円に内接する四角形ABCDにおいて
cosAの値と四角形ABCDの面積を求めよ。

という問題があるのですが、教えていただけませんか？

よろしくお願いします。

回答No.2

bigikareponchi

基本的にはＮO１さんと同じです。
ただ、面積は円に内接している四角形の場合
ヘロンの公式が使えるので
知っておくと便利です。
内接四角形の４辺の長さをそれぞれa,b,c,dとし
s＝（a+b+c+d)/2とするとき、面積Ｓは以下の式で与えられます。
Ｓ＝√（s-a)(s-b)(s-c)(s-d)
今回はa=2,b=c=3,d=4なのでs=（２＋３＋３＋４）/２＝６ですので
Ｓ＝√(６-２）（６－３）（６－３）（６－４）＝６√２

回答No.1

Mr_Holland

(A) cosAの値
　　対角線BDを引きます。
　　四角形ABCDは円に内接するので　対角の和は180°です。
　　　　∴C=180°-A　　　　・・・・(1)

　　△ABDと△CBDで　辺BDに対して余弦定理を使います。
　　　BD^2=AB^2+AD^2-2AB・ADcosA
　　∴BD^2=20-16cosA　　・・・・・・・(2)

　　　BD^2=CB^2+CD^2-2CB・CDcosC
　　∴BD^2=18+18cosA　　・・・・・・・(3)
　　　（∵　cosC=cos(180°-A)=-cosA )

　　式(2)(3)から
　　　20-16cosA=18+18cosA
　　∴cosA=1/17

(B)　四角形ABCDの面積
　　　準備として　sinA,sinCを求めておきます。
　　　　sinA=√{1-(cosA)^2}=12√2/17
　　　　sinC=sin(180°-A)=sinA=12√2/17

　　　四角形ABCD =△ABD+△CBD =(1/2)AB・ADsinA+(1/2)CB・CDsinC =6√2