数学I・A問題

質問

円に内接する四角形ABCDはAB=2 BC=8 CD=DA=4を満たしている。このときのACの長さの求め方を教えて下さい。

回答No.1

ferien · ベストアンサー

>円に内接する四角形ABCDはAB=2 BC=8 CD=DA=4を満たしている。このときのACの長さの求め方

内接する四角形ABCDだから、角Ｄ＝１８０度－角Ｂより、
ｃｏｓＤ＝ｃｏｓ（π－Ｂ）＝－ｃｏｓＢ
△ＡＢＣで余弦定理より、
ＡＣ^2＝ＡＢ^2＋ＢＣ^2－２×ＡＢ×ＢＣ×ｃｏｓＢ
　　　＝２^2＋８^2－２×２×８×ｃｏｓＢ
　　　＝６８－３２ｃｏｓＢ　……（１）
△ＡＤＣで余弦定理より、
ＡＣ^2＝ＡＤ^2＋ＤＣ^2－２×ＡＤ×ＤＣ×ｃｏｓＤ
　　　＝４^2＋４^2－２×４×４×（－ｃｏｓＢ）
　　　＝３２＋３２ｃｏｓＢ　……（２）
（１）（２）より
６８－３２ｃｏｓＢ＝３２＋３２ｃｏｓＢ　
よって、ｃｏｓＢ＝９／１６
（２）へ代入して
ＡＣ^2＝３２＋３２×（９／１６）＝５０
よって、ＡＣ＝５ルート２

お礼

ありがとうございました！丁寧に解説して下さったのでようやく分かりました。