三角比の問題です

質問

センター対策をしていたらちょっと詰まった問題があったのでよろしくお願いします。（２）で詰まってしまいました。

円に内接する四角形ＡＢＣＤがあり、ＡＢ＝５，ＢＣ＝８、∠ＡＢＣ＝６０°、ＣＤ＝ＤＡである。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　７√３
（１）ＡＣ＝７であり、ＣＤ＝ＤＡ＝－－－－－（３分の７ルート３）　である
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　３

（２）cos∠ＤＡＢを求めよ

答えは　　３√３
　　－　－－－－－　　（マイナス１４分の３ルート３）です
　　　　　　１４

回答No.3

kony0 · ベストアンサー

∠ABD=∠ACD=30度（△ADCは頂角120度の二等辺三角形ですよね？）だから、
∠DAB=150度-∠ADBです。これを求める式に代入。
とりあえずこの問題に取り組むときに△ABDに注目しているはずで、２辺と１対角がわかっていれば正弦定理→２つめの角度の情報もわかる→残りは内角和から考える、と思考の流れをつかめば、決して奇抜な解法ではないと思います。

ちなみに、sin∠ADBからcos∠ADBを求めるときに、これが鋭角であることを示す必要が（記述式ならば）あると思います。（cosの符号確定のため）これはざっくりいうと∠ACBが120度未満であること（△ABCの内角和より）、sin∠ADBが(√3)/2より小さいことから、60度未満であることが言えます。（△BADだけに注目すると、sin∠ADB<(√3)/2だけでは、120度<∠ADB<150度の可能性が消えないので、円周角で∠ACBに移して考えました。）。。。こんな面倒くさいことする必要あるんかいのぉ？

＃別解は、学生時代もっぱら中学生ばかり教えていたのでこんな解法になってしまったんですが。（笑）ちなみに、もうひとつ中学生的な考えから別解。

（別解２）BAとCDを延長し、交点をPとすると、△PAD∽△PCBで相似比はAD:BCから既知の値となる。ここからPAとPDの長さを文字でおいて、方程式で解ける。（ここまで中学生。円は相似がいっぱい出現！）
すると、△PADは３辺とも長さが出せたので、あとは余弦定理で。

なんかいろんな解法を考える趣味の問題になってしまいました。すんません（汗）

お礼

補足のことに早速答えてくれありがとうございます。
別解も何とかわかりました。
親切なアドバイスありがとうございました。

回答No.4

kony0

３度すみません。(^^;)
cos∠ADBって、∠ACBにうつして△ABCで余弦定理で一発ですね。（笑）

回答No.2

doubleimpact

円の中心をOとする。
点DからBAの延長に垂線をおろしてその足をHとする。
点OからBCに垂線をおろしてその足をIとする。
∠OBC=xとすると、
∠DAH=60°+xとなります。
加法定理では、
cos(a＋b)=cos(a)*cos(b)－sin(a)*sin(b)
ですから、
cos(60°＋x)=cos(60°)*cos(x)－sin(60°)*sin(x)
となります。
三角形OBIを考えると、
三平方の定理により、OIが求められます。
よって、cos(x)とsin(x)がわかります。
あとは間違わないように計算するだけです。

お礼

ふむふむ。よく解りました。
ありがとうございました。

回答No.1

kony0

△DABについてわかっている情報から求められそうなところを考えると、
正弦定理でsin∠ADBが求められます。ということはcos∠ADBも求められます。
cos∠DABを∠ADBを用いて加法定理を使えば終わります。

別解。点DからBAの延長に垂線をおろしてその足をHとする。
△DBHは三角定規で、DH=xとすれば、△DAHで三平方の定理でxが求められ、
図形的にcos∠DABが求められます。

補足

早速のアドバイスありがとうございます。すいません。どうやって加法定理に持ち込むか教えてくれるとありがたいのですが…。