何故、このような操作ができるのか？？

質問

何故、このような操作ができるのか？？

絶対値つき関数/折れ線

関数f(x)=-|2x-1|+1(0<=x<=1)を用いて、関数g(x)=-|2f(x)-1|＋１(0<=x<=1)
を考える。0<c<1のとき、g(x)=cを満たすxを求めよ。

解 g(x)=c⇔c=-|2f(x)-1|+1⇔|2f(x)-1|=1-c(>0)
⇔2f(x)-1=+-(1-c)
⇔f(x)=2-c/2,c/2・・・(1)
y=f(x)のグラフは,x>1/2のとき傾き-2 x<1/2のとき傾き2であるから、右図のよう。
さて、0<2-c/2<1,0<c/2<1であるから,(1)を満たすｘは、右図から
2x=2-c/2,c/2or2-2x=2-c/2,c/2
x=2-c/4,c/4,2+c/4,4-c/4

教えてほしいところ
|2f(x)-1|=1-c(>0)
⇔2f(x)-1=+-(1-c)としてf(x)=2-c/2,c/2・・・(1)と考えられるのか疑問です。
|x-1|=5であればxの定義域がないので、確信をもってx-1=+-5と絶対値を外して両方解であるとわかります。
しかし、今回ｘには定義域があるのでf(x)の解絶対値を外して本当にそれがf(x)の定義域を満たしているかわかりませんよね？？
何故、そういうのを確認しないんでしょうか？？

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。
少し時間が経っていますが、コメントさせてください。

いいところに目を付けていると思います。
わたしとしては、「確認が必要」だと思います。

で、どのようなことを確認するのかというと、以下のようなことです。
・まず、0≦ x≦ 1のとき、0≦ f(x)≦ 1

・そして、f(x)＝ tとでも一度置いて考えれば、g(x)についても 0≦ g(x)≦ 1となることが言えます。
つまり、0≦ x≦ 1のとき、0≦ g(x)≦ 1ともなっているということです。

このようなところを見るのが「解答・解説の行間を読む」世界になってきます。
（問題集などでは省かれてしまいやすいところを見る）
行間が見えてきているようですね。＾＾

回答No.1

alice_44

｜2F-1｜=1-c ⇔ 2F-1=±(1-c) …(1) は、
F の変域に制限がついていようがいまいが、成り立ちます。
F=f(x) …(2) となる x が在るか無いかは、また別の話です。
(1) を解いた F の値が、f(x) の値域を外れていれば、
(2) を解こうとした時に、対応する x が無いことで
それと判ります。わざわざ事前に確認しなくとも。