数Iの内容で理解できなかった箇所があり質問させていただきました。回答よ

質問

数Iの内容で理解できなかった箇所があり質問させていただきました。回答よろしくお願いします。

xについての2つの2次方程式
　x^2+kx+3=0　…(1)
　x^2+x+3k=0　…(2)
が共通の実数解をもつようにkの値を求めよ。

という問題の解の最初のところの

x^2を消去するために、(1)-(2)をつくると
　(k-1)x+3-3k=0
∴(k-1)(x-3)=0　…(3)
という、xの高々1次方程式が得られる。逆に、
(1)-(3)をつくると、(2)が得られるので、(1)かつ
(2)は、(1)かつ(3)と同値である。よって、(1)と(2)
が共通の解をもつためには、(1)と(3)が共通解を
もつことが必要十分である。

の一部分

(1)-(3)をつくると、(2)が得られるので、(1)かつ
(2)は、(1)かつ(3)と同値である。

という箇所が理解できません。
なぜ
(1)かつ(2)⇒(3)　かつ　(1)かつ(3)⇒(2)
ならば
(1)かつ(2)⇔(1)かつ(3)
となるのでしょうか？

また今までこの問題は別の解法で解いていたのですが、
もしこの解法を理解するのが困難な場合、無理して理解しなくても
いいのでしょうか？

回答No.1

spring135 · ベストアンサー

数学で解を問題から得るということは同値変形をしていくことにほかなりません。同値変形とは変形しても完全に元に戻れるということです。
問題は
「x^2+kx+3=0　…(1)
　x^2+x+3k=0　…(2)
が共通の実数解をもつ。」
ということで、計算(変形)を進めていっても常に
この条件を満たしていなければなりません。
「(1)かつ(2)⇒(3)」、「(1)かつ(3)⇒(2)」、「(2)かつ(3)⇒(1)」
は(1),(2),(3)のうち2つがあればもう一つは導けるのでいずれの二つを取っても
同値であることを言っています。

お礼

丁寧なご説明ありがとうございました。

回答No.2

alice_44

(1)かつ(2)⇒(1)　は自明ですから、
(1)かつ(2)⇒(3)　が与えられていれば、
(1)かつ(2)⇒(1)かつ(3)　が言えます。

(A)⇒(1)　かつ　(A)⇒(3)　ならば、
(A)⇒(1)かつ(3)　となりますよね？

(1)かつ(3)⇒(2)　のとき
(1)かつ(3)⇒(1)かつ(2)　となることも、
同様です。

お礼

丁寧なご説明ありがとうございました。