慣性モーメント

質問

厚さを無視できる円筒や円環や球殻の慣性モーメントはどうやって計算すればよいのでしょうか？

回答No.3

siegmund · ベストアンサー

replay さんはすこし誤解されているようです．

慣性モーメントは，
(1)　　(微小部分の質量)×(軸からの距離)
を加え合わせた(連続的に質量が分布しているなら積分した)ものです．
極座標系で表したときに，r は原点からの距離であって，
軸からの距離ではありません．
したがって
(2)　　I = ∫ρr^2 r^2 sinθdrdθdφ
と書いてはいけません．

後半は，球と球殻とがごっちゃになっているようです．
球殻ならば r は a で一定のままです．
r についてゼロから a まで積分しちゃっちゃいけません．
(投稿しようとしたら，訂正が投稿されていました)．
さらに密度についても，体積密度と面積密度を混同されています．
また，慣性モーメントの次元は (質量)×(長さ)^2 ですが，
最終結果ではそうなっていませんので，
結果が誤りであることは一目でわかります．

厚さを無視できる円筒や円環は，
軸の周りの慣性モーメントということなら簡単．
すべての質量が軸からの距離から a の場所にあります．
したがって，
(2)　　I = Ma^2

球殻はちょっと面倒．

　　　　Ａ
　　　　│
　　　　Ｃ　　　Ｂ
　　　　│　　／
　　　　│θ／
　　　　│／
　　　　Ｏ

図の様に極座標を取ります．ＡとＢとは球の表面．
BC = a sinθ
θ～θ+dθ の部分の球殻面積は (a dθ)×(2πa sinθ) = 2πa^2 sinθ dθ
単位球殻面積あたりの質量は M/4πa^2．
したがって，
(3)　　I = ∫{0～π} (M/4πa^2) (a sinθ)^2 (2πa^2 sinθ dθ)
　　　　 = (2/3)Ma^2
です．

> 内半径ｂ外半径ａとして厚さのある球殻の積分をして
> ｂ→ａの極限から計算すると
> Ｉ＝2/3×Ma^2となりました。

もちろんこれでもＯＫですね．

回答No.2

replay

いけない、rの積分範囲、間違えていました。
[r^5/5],r=[a,b]でlim b->aで良いです。

厚みのある一般論で求めて、極限を取るので良いのです。

回答No.1

replay

質問内容から質問者を大学生？と仮定して

厚さを無視できるとというのは質点から構成されているという意味でしょう。
定義通りに計算すればOK
I=∫ρr^2 dV
=∫ρr^2 dxdydz, r^2=x^2+y^2+z^2
=∫ρr^2 r^2sinθdrdθdφ

例えば球殻、半径a、質量Mなら
極座標系で考えて、x軸周りで考えるとr_x= r sinθ
I=∫ρr_x^2 r^2 sinθdrdθdφ
=∫ρ(r sinθ)^2 r^2 sinθdrdθdφ
=∫ρr^4 sin^3θdrdθdφ
=ρ∫r^4dr∫sin^3θdθ∫dφ
=ρ[a^5/5][4/3][2π]
M=ρより、ρ=M/4πa^2
従って
I=[M/4πa^2][a^5/5][4/3][2π]
=2Ma^3/15

あとは自分でやりましょう。

補足

私も式までは出せたのですが
厚さを無視できるという点でｒの積分範囲が分からなくて計算できませんでした。
内半径ｂ外半径ａとして厚さのある球殻の積分をして
ｂ→ａの極限から計算すると
Ｉ＝2/3×Ma^2となりました。
このような回りくどいやり方以外では無理でしょうか？