慣性モーメント

質問

慣性モーメントの問題で困ってます。
質量Ｍ、長さＬの棒があり、質量Ｍ／２の質点Ａを一端に取り付け、ほかの一端にＭ／４の質点Ｂを取り付けた(合計７Ｍ/４)。質点Ａから距離ａにある棒状の点を通って棒に垂直な軸を考え、この軸を回転させるときの軸の周りの慣性モーメントは求めることができたのですが、慣性モーメントが最小になるためのaの値がわかりません。今までの力のモーメントから慣性モーメントに変わって困っています。どうかモーメントが最小になる条件も踏まえて教えていただけないでしょうか？ちなみに計算した慣性モーメントは{(7L^2-18La+21a^2)M/12}です。(たぶん合ってるはず・・・)

回答No.2

FM-8 · ベストアンサー

たしかに，#1様ご回答のとおり，微分を使うほうが簡単だと思います．
ということで，別のとき方ですが，

計算したものが合っているとして，
I={(7L^2-18La+21a^2)M/12}
=[{(a-(9/21)L}^2 + 7/21L^2-(9L/21)^2] * 21 * M/12
= [{(a-(3/7)L}^2 + (22/147)L^2] * 21 * M/12

とaについての二次形式に変形できます．#1様すでにご回答のとおり，
a=(3/7)Lで最小値をとる，下に凸な二次曲線(放物線)です．
最小値は，(a-(3/7)L　=0 のときの値ですので，
　Imin= (22/147)L^2 * 21 * M/12 = (11/42)ML^2

計算間違っているかも知れませんが，
いいたいのは，二次形式にしてカッコの中がゼロになる条件を見つけるということです．

検算にでもどうでしょうか．

それでは．

お礼

先ほど同じように微分をしてみたら同じ結果がでました。答えも合ってました。かなり詳しくやっていただいてありがとうございます

回答No.4

abyssinian

補足です。
>今までの力のモーメントから慣性モーメントに変わって困っています。

　変わったのではなく、力のモーメントのままです、それがバランスするａを求めるだけの問題なんです。

回答No.3

abyssinian

君は理工系の学生ですか？普通、慣性モーメントを学ぶとき、必ず、平行軸の定理もあると思うのですが。これを使えば、たいていの問題は微積分をせずに解が求まるからです。僕が答えた過去問を示します。
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=879784
このように、バットの形はとても積分できそうにないけど解が求められるんです。最後に書いてあるとおり、
平行軸の定理は
　I=重心に於ける慣性モーメント＋mx^2
ここにmは全質量、xは重心と支点の距離。
この式が最小になるのは弟2項が0であることが、簡単に結論されます。
だから課題は、重心の位置を求めるだけの、超単純な問いなんです。ちなみに重心の式は
　Σgmx=0
棒の重心は端からL/2の位置です。支点のまわりのトルクモーメントを、反時計回りをプラスとすれば、上式は
　(gM/2)a-gM(L/2-a)-(gM/4)(L-a)=0
あとは頑張りましょう。

　このように、原理に照して考えることが、物理の基本です。質問があれば補足しますよ。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=879784

お礼

過去問、原理等ありがとうございます。自分はまだ慣性モーメントに関して定理等理解できていないようです。これを機にがんばって理解できるよう努力していきたいと思います。

回答No.1

zenzenzen

慣性モーメントの答え自体があっているかどうかは別にして，慣性モーメントが最小になるaの値の出し方は，小括弧の中をaの２次関数と見てaについて微分し，極小値をとるaの値を求めればよいのではないでしょうか．
求められた慣性モーメントは，aが０～Lの間で下に凸ですから．

お礼

ありがとうございます。微分してやってみます！