慣性モーメント

質問

物理の慣性モーメントについて、本に
球殻：I=m/4πa^2∫(a sinθ)^2)(2πa sinθ)adθ＝2/3ma^2
(m=質量、a=半径）
球　：I=m/3/4πa^3∫2/3r^2・4πr^2dr＝2/5ma^2
とありました。
計算の途中経過か書いてないのでサッパリ分かりません。
なぜこうなるのでしょう？

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

質問にある式の変形ができない、ではなく質問にある式を導くことができない、との前提でお答えします。(積分計算は高校レベルなので問題ないでしょう)

球殻：
厚さのない半径a,質量mの球殻のことでしょう。
この球殻の面積密度をσとすると
σ=m/(4πa^2)
となります。
対象となる軸に対して極座標を取ります。
θ～θ+dθの部分の球殻の面積dSとしますと、この部分は長さ2πa*sinθ,幅a*dθの帯になりますので
dS=2πa*sinθ*a*dθ=2πa^2*sinθdθ
となります。

この部分の質量dmは
dm=σdS=m/(4πa^2)*2πa^2*sinθdθ
となり、さらにこの部分の慣性モーメントdIはこの部分の軸からの距離がa*sinθですので
dI=dm*(a*sinθ)^2=m/(4πa^2)*(a*sinθ)^2*2πa^2*sinθdθ

全体の慣性モーメントはこれを足し合わせ
I=∫dI=∫m/(4πa^2)*(a*sinθ)^2*2πa^2*sinθdθ
です。

球：
これは密度をρ=m/{(4/3)πa^3}
とおき、同様に計算します。

半径r～r+drの範囲にある球殻の慣性モーメントを求めてそれを足し合わせる(積分する)のですが、ここで先ほど計算した球殻の慣性モーメントを使用します。
半径r～r+drの範囲にある球殻の体積dVは面積4πa^2,厚さdrの殻の体積ですので
dV=4πa^2dr
となり、この部分の質量dmは
dm=ρdV=m/{(4/3)πa^3}*4πa^2dr
となります。

質量dm、半径rの球殻の慣性モーメントdIは
dI=(2/3)dm*a^2=m/{(4/3)πa^3}*4πa^2*(2/3)a^2dr
後は足し合わせるだけです。

お礼

ご丁寧にありがとうございます。