慣性モーメント

質問

問題がどうゆう風にとけばいいのか見当がつきません。どなたかお助けください。

一様な線密度λの針金で作った半径aの円環が、その中心を通る鉛直線を回転軸として水平面内において一定角速度ωで回転している。これを次第に下げて。摩擦係数μの水平な粗面に一様に触れるようにした。
このとき、円環の微小長さｄｓにはｄｆ＝－μｇλｄｓの力が働く。
円環は粗面に触れてから何回転で静止するか？
重力加速度はｇとし、円環の回転軸の慣性モーメントはI＝2πλa＾３である。

解答＝aω＾２/４πμｇ
とき方を教えてください

回答No.3

noname#168349

運動方程式は
m↑r''=↑F
('は時間微分を表す）
微小長さｄｓについて運動方程式は、極座標で
dm[(r''-rθ'^2)↑e_r+r^(-1)(r^2θ)'↑e_θ]=-μgλds↑e_θ
（↑e_r、↑e_θはそれぞれr方向、θ方向の単位ベクトル）
両辺に↑r=r↑e_rを外積で掛け、r=a,dm=λds,ds=λadθに注意すると、
λa^3θ''dθ=-μgλa^2dθ
両辺を円環全体にわたって積分すると
2πλa^3θ''=-2πμgλa^2

2πλa^3の部分が慣性モーメントです。微分方程式を解くのはできますね。

回答No.2

htms42

円盤ではなくて円環ですね。
この場合は慣性モーメントを使わなくても答えることが出来ます。
円周の全ての点で同じようにエネルギーを失います。ｄｓの部分でその部分のエネルギーを失うのと円環全体で全体のエネルギーを失うのと移動距離、移動時間は同じです。

微小長さｄｓについて運動エネルギーが摩擦力で失われるという関係を使えばこすっている間の移動距離ｘを求めることが出来ます。

運動エネルギー＝(ｄｍ/２)ｖ^２＝(ｄｍ／２)(ａω)^２
摩擦に逆らってする仕事＝摩擦力で失われるエネルギー＝|ｄｆ|ｘ
＝（μｄｍｇ）ｘ
回転数＝ｘ／２πａ

ｄｍ＝λｄｓ
です。

慣性モーメントは全体のエネルギーを
(1/2)（　)ω^２とした時の（　）の部分です。それをＩと置いています。
円環の場合の慣性モーメントがＩ＝２πλａ^３であるということは円環の質量をｍとすると
Ｉ＝ｍａ^２
です。

回答No.1

noname#168349

運動方程式は立てましたか。
力学の問題は、運動方程式を立てなくては話になりません。

微小長さｄｓについて運動方程式を、極座標で、立てる。
運動方程式の両辺に位置ベクトル↑rを外積で掛け、両辺を積分する。
得られた微分方程式を解く。
角速度dθ/dtが０になる時刻を求め、さらにその時刻における偏角θを求める。
得られたθを2πで割る。

以上の手順でやってみてください。

補足

すみません。いまいちわからなくて。

Iω＝ｒＦより微分方程式を立てればよいのでしょうか？
とするとｒＦ＝－μｇλｄｓ×a×ｒとなるのと思ったのですがｄｓの要素が見当たりません。的外れだったらすみません