中学校の2次方程式の問題で

質問

中学校の2次方程式の問題で

方程式（x＋２）（x－４）＝a の解が 整数となるような、もっとも小さい自然数aを求めなさい。

という問題なのですが、展開して考えてみてもよく分からず。。。

お分かりになる方いらっしゃいましたら
どうかよろしくお願い致します。

回答No.6

htms42 · ベストアンサー

中学生だということですから

＞（x＋２）（x－４）＝a
展開して二乗の式を作ります。

ｘ^2－２ｘ－８＝ａ
（ｘ－１)^2＝ａ＋９
ｘが整数であるということですから右辺のａ＋９が(　)^2になって入るはずです。

小さい方から
９　　　ａ＝０
１６　　ａ＝７
２５　　ａ＝１６
・・・
です。
ａは自然数ということですからａ＝７が一番小さい数字です。

お礼

遅くなって申し訳ありません。
どうもありがとうございました。

回答No.5

alice_44

この問題では、結果的に、
最小の a が a=7 と比較的小さいので、
単純に、a=1,2,3,… と順番に代入して、
二次方程式を解の公式で解いてゆけば、
解が初めて整数になる a を
見つけることができます。

お礼

遅くなって申し訳ありません。
どうもありがとうございました。

回答No.4

spring135

>方程式（x＋２）（x－４）＝a の解が 整数となるような、もっとも小さい自然数aを求めなさい。

これは次の二つの方程式の交点と考えて、
これらのグラフを描いて考えるのが最も
素直な解き方です。

y=(x+2)(x-4) (1)
y=a　　　　　 　(2)

従って、質問者がこのグラフが描けるか否かがポイントです。

(1)は
y=(x+2)(x-4)=x^2-2x-8=(x-1)^2-9
と変形してみれば解るように
頂点を(1,-9)とし、直線x=1に対称で下に凸な放物線です。
x軸との交点はx=-2,4です。

(2)は
x軸に平行な直線です。

またaが自然数とはaが正の整数（1,2,3，，，）であることを意味します。

もし以上のことが解らなければx=-4からx=6まで0.5刻みでｘを変えて
(x=-4,-3.5,-3,-2.5,-2,-1.5,-1,-0.5,0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5,5.5,6)
各xを(1)へ代入し、ｙを求め(x,y)をプロットします。

問題から解xは整数です。
1）(1)とx軸との交点はx=-2,4です。この間では(1)のｙは負となり(2)y=aとの交点は
　a<0　となり題意に適しません。
2）x=-2,4のとき(1)はｙ＝0、(2)ｙ＝a＝0は自然数でないので適しません。
3）x=-3または5のとき(1)はy=7となり、(2)y=a=7とすれば自然数a=7が得られます。

答え
整数解x=-3または5のときaは最小の自然数7となる。

お礼

遅くなって申し訳ありません。
どうもありがとうございました。

回答No.3

wild_kit

（ｘ＋２)＞０、(ｘ―４)＞０の場合と、（ｘ＋２）＜０、(ｘ－４)＜０の場合。
ａが自然数になるのは２つのケースがあります。
ｘ＝―３とすると、―１と―７の積となり、ａ＝７です。

お礼

遅くなって申し訳ありません。
どうもありがとうございました。

回答No.2

B-juggler

こんばんは。
んっと、難しく考えすぎてあるんじゃないかなぁ。

普通に展開して

ｆ（ｘ）＝ｘ＾２　－　２ｘ　－　８－ａ　＝０

として、　平方完成しましょう。

ｆ（ｘ）＝（ｘ－１）＾２　－１－８－ａ　＝　（ｘ－１）＾２　－９－ａ

整数解を持たないのは、ｆ（ｘ）の最小値が　ｆ（１）＞０　のときなので・・・・。

これではいけませんか？

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

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どうもありがとうございました。

回答No.1

kabaokaba

aが自然数なんだからx>=5であることは確定
さらに，aは x+2 と x-4 という「六つ差」の整数の積になる．

となると，x=5のとき a= 7 * 1 =7 でしょう．
1から6が「六つ差」の整数の積になることはない．

これは二次方程式の問題ではなく
むしろ素因数分解とかの整数の問題です．

お礼

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どうもありがとうございました。