二次方程式の問題

質問

次の問題の解答をお願いします。
α=2-m√3、β=2+m√3までは求められたのですが・・・。

[１]mは負でない整数とする。xについての2次方程式　x＾2-4x-3m^2+4=0の2つの解を
α、βとおく。α≦βであるとき、
α=ア－m√イ、β=ウ－m√エ　であるから、
2次方程式　x＾2-4x-3m^2+4=0が整数を解にもつとき、その整数の2つの解を
α´、β´とおく。α´、β´が、α´＾2+β´＾2=32・・・・・・(1)
をみたすとき、mとkとの間には　カm^2-k=キ が成り立つ。
したがって、(1)をみたすmとkの値の組（m,k）は
（m,k）=（ク,ケコ）,（サ,シス）　である。ただし、ク＜サとする。

[２]Ｕを2桁の自然数全体の集合とし、その部分集合をＡ、Ｂを次のように定める。
Ａ={x｜xは3の倍数}
Ｂ={x｜xは7の倍数}

集合Ｘの要素の個数をn（Ｘ）で表すとき
n（Ａ∨Ｂ）=セソ
n（￢Ａ∧Ｂ）=タ
n（Ａ∨￢Ｂ）=チツ　である。

また、集合（￢Ａ￢∨￢Ｂ）∨（Ａ∧Ｂ）をＣとおく。
この集合Ｃと同じものを表す集合は、テとトであり、n（Ｃ）=ナニである。
テ、トについては、当てはまるものを　０～３　から一つずつ選べ。

０・・・（￢￢Ａ￢∨￢￢Ｂ）∨（￢Ａ∧￢Ｂ）
１・・・（￢Ａ∧Ｂ）∧（Ａ∨￢Ｂ）
２・・・（Ａ∨￢Ｂ）∨（￢Ａ∧Ｂ）
３・・・（￢Ａ∨Ｂ）∧（Ａ∨￢Ｂ）

０～３については、表記がわかりにくいため、画像を添付しました。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#1,#2です。

[２]の回答

>集合Ｘの要素の個数をn（Ｘ）で表すとき
n(Ｕ)=99-9=90

>Ａ={x｜xは2桁の3の倍数}
A={x| x=3p,p=自然数,4<=p<=33}
n(A)=33-4+1=30

>Ｂ={x｜xは2桁の7の倍数}
B={x| x=7q,q=自然数,2<=q<=14}
n(B)=14-2+1=13

n(A∩B)=n{x|x=21 r (1<=r<=4)}=4

n（Ａ∨￢Ｂ）=チツ

>n（Ａ∨Ｂ）=セソ
n (A∪B)=セソ

n (A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
=30+13-4=39

>n（￢Ａ∧Ｂ）=タ
n（￢Ａ∩Ｂ）=タ

n (￢A∩B)=n(B)-n(A∩B)
=13-4=9

>n（Ａ∨￢Ｂ）=チツ
n（Ａ∪￢Ｂ）=チツ

n(Ａ∪￢Ｂ)=n(A)-n(A∩B)
=30-4=26

また、集合（￢Ａ￢∨￢Ｂ）∨（Ａ∧Ｂ）をＣとおく。

>この集合Ｃと同じものを表す集合は、テとトであり、n（Ｃ）=ナニである。
テ、トについては、当てはまるものを　０～３　から一つずつ選べ。
０・・・(￢((￢Ａ)∪(￢Ｂ)))∪((￢Ａ)∩(￢Ｂ))
１・・・(￢Ａ∩Ｂ)∩(Ａ∪￢Ｂ)
２・・・(Ａ∪￢Ｂ)∪(￢Ａ∩Ｂ)
３・・・(￢Ａ∪Ｂ)∩(Ａ∪￢Ｂ)

ベン図（参考URL参照）を描いて考えると良い。
http://ja.wikipedia.org/wiki/ベン図

C=(￢(Ａ∪Ｂ))∪(Ａ∩Ｂ） なら
ベン図を描けばCは　0と3の集合が同じ集合と分かる。
n(C)=n(Ｕ)-n (￢A∩B)-n(Ａ∪￢Ｂ)
=(99-9)-9-26=55

回答No.2

info22_

#1です。

A#1の補足の訂正後の回答

１]
>mは負でない整数とする。
>xについての2次方程式　x＾2-4x-3m^2+4=0の2つの解を
>α、βとおく。α≦βであるとき、
>α=ア－m√イ、β=ウ－m√エ　であるから、
「β=ウ＋m√エ」の間違い。

α=2－m√3、β=2+m√3 ・・・(☆)

>2次方程式　x＾2-4x-3m^2+4=0が整数を解にもつとき、
>その整数の解はx=オである。
（☆）でα、βは整数、mは非負整数であるから m=0
その整数の解はx=α=β=2である。

>さらに、kを負の整数として、xについての2次方程式x^2-4x-3m^2+k=0の2つの解を
>α´、β´とおく。
α´、β´=2±√(3m^2-k+4)

>α´、β´が、α´＾2+β´＾2=32・・・・・・(1)
>をみたすとき、mとkとの間には　カm^2-k=キ ・・・(2) が成り立つ。
解と係数の関係から
α´+β'=4, α´β'=k-3m^2
α´＾2+β´＾2=(α´+β')^2-2α´β'=16-2k+6m^2=32
6m^2-2k=16 → 3m^2-k=8 ・・・(2)

> したがって、(1)をみたすmとkの値の組（m,k）は
したがって、(2)をみたすmとkの値の組（m,k）は

>（m,k）=（ク,ケコ）,（サ,シス）　である。ただし、ク＜サとする。
(m,k)=(0,-8),(1,-5)

[2]
これについても式の書き方がおかしい。
なお
「U」のキー入力は「かっぷ」、「∩」のキー入力は「きゃっぷ」で出て来ます。

画像から
>０・・・（￢￢Ａ￢∨￢￢Ｂ）∨（￢Ａ∧￢Ｂ）
>１・・・（￢Ａ∧Ｂ）∧（Ａ∨￢Ｂ）
>２・・・（Ａ∨￢Ｂ）∨（￢Ａ∧Ｂ）
>３・・・（￢Ａ∨Ｂ）∧（Ａ∨￢Ｂ）
は

０・・・(￢((￢Ａ)∪(￢Ｂ)))∪((￢Ａ)∩(￢Ｂ))
１・・・(￢Ａ∩Ｂ)∩(Ａ∪￢Ｂ)
２・・・(Ａ∪￢Ｂ)∪(￢Ａ∩Ｂ)
３・・・(￢Ａ∪Ｂ)∩(Ａ∪￢Ｂ)
と書くべきです。

>また、集合（￢Ａ￢∨￢Ｂ）∨（Ａ∧Ｂ）をＣとおく。
この書き方は有りえません。
「集合（￢(Ａ∪Ｂ))∪(Ａ∩Ｂ）をＣとおく。」でしょうか？

集合の式表現を正確にお願いします。

補足

再度すいません。ご指摘ありがとうございます。

集合（￢Ａ￢∨￢Ｂ）∨（Ａ∧Ｂ）をＣとおく。
⇒集合（￢(Ａ∪Ｂ))∪(Ａ∩Ｂ）をＣとおく。　に訂正させていただきます。

[1]についてのご解答、ありがとうございました。
問題文の書き間違いがないよう、留意いたします。

回答No.1

info22_

課題を丸投げしたり異種問題を同じ投稿として転記するのではなく、内容が無関係の質問は別の投稿された方がいいのでは？

本題に入って
[1]
>mとkとの間には　カm^2-k=キ が成り立つ。
>したがって、(1)をみたすmとkの値の組（m,k）は

問題にはkが入っていません。問題が間違っているようです。
[1}の問題を訂正して補足にお書き下さい。

[2]は別の回答で

補足

ご指摘ありがとうございます。
[１]について、もう一度書き直させていただきます。　

[１]mは負でない整数とする。xについての2次方程式　x＾2-4x-3m^2+4=0の2つの解を
α、βとおく。α≦βであるとき、
α=ア－m√イ、β=ウ－m√エ　であるから、
2次方程式　x＾2-4x-3m^2+4=0が整数を解にもつとき、
その整数の解はx=オである。
さらに、kを負の整数として、xについての2次方程式x^2-4x-3m^2+k=0の2つの解を
α´、β´とおく。α´、β´が、α´＾2+β´＾2=32・・・・・・(1)
をみたすとき、mとkとの間には　カm^2-k=キ が成り立つ。
したがって、(1)をみたすmとkの値の組（m,k）は
（m,k）=（ク,ケコ）,（サ,シス）　である。ただし、ク＜サとする。