大学の極限の問題です。

質問

大学の極限の問題です。　

lim(n→∞)(1+1/2+‥+1/n-logn)

が収束することを示してください。

よろしくお願いします。

回答No.2

muturajcp

a_n=Σ_{k=1～n}1/k-logn
とすると任意の自然数kに対して
1/k>∫_{k～k+1}(1/x)dx=log(k+1)-logk>1/(k+1)
だから
a_n=Σ_{k=1～n}1/k-logn>log((n+1)/n)>0
a_n-a_{n+1}=log(n+1)-logn-(1/(n+1))>0
{a_n}は正単調減少列だから
lim_{n→∞}(Σ_{k=1～n}1/k-logn)
は収束する

回答No.1

Tacosan

たぶん, log x を x で微分できる人には簡単.