α、βを解とするひとつの二次方程式は解るが他には？

質問

二つの数α、βを解とする二次方程式のひとつは（x-α）（ｘ－β）＝０であるということで
具体的な数字で考えると３と５を解とする方程式のひとつは（ｘ－３）（ｘ－５）＝０つまり
ｘ＾２－８ｘ＋１５＝０となりますが他にはどんな式になるのでしょうか。たとえば両辺に２をかけて
２ｘ＾２－１６ｘ＋３０＝０とかでしょうか？あるいは両辺に分数をかけたりしてもいいのでしょうか？
ひょっとするとまったく考え方が違うのでしょうか。
自分でも方程式の基本的な意味がわかっていないので理解できないと思っていますがよろしく
お願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

α,βを解とする二次方程式は、
k(x-α)(x-β)=0, k≠0 です。
…ですが、k に 0 以外でどんな数値を認めるかは、
そもそも最初に「二次方程式」と言ったときに、
方程式の係数の範囲をどのように考えているか次第です。
整係数二次方程式であれば、k は整数に限るし、
実係数二次方程式であれば、k は無理数でも構いません。
複素数係数二次方程式なら、k は虚数でも良い訳です。
多項式や代数方程式を考えるときに、
係数の範囲に無自覚であっては、
通じる話も通じなくなります。

お礼

ｋの範囲について詳しく解説していただいて理解できました。ありがとうございました。

回答No.2

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

「因数定理」というのを使うとちゃんと説明できるのですが、
二つの数α、βを解とする二次方程式の一般式は a≠0 として、
a(x-α)(x-β)=0
になります。

お礼

因数定理についても勉強したいとおもいます。ありがとうございました。

回答No.1

mister_moonlight

＞ｘ＾２－８ｘ＋１５＝０となりますが他にはどんな式になるのでしょうか。

k　を　k≠0の定数として、k(ｘ＾２－８ｘ＋１５)＝0　とすると良い。
kは定数であれば、有理数でも、無理数でも良い。

お礼

意味が理解できました。ありがとうございました。