線形差分方程式の一般解について

質問

2階の線形差分方程式
x(n+2)-a*x(n+1)-b*x(n)=0

は特性方程式の２解をαとβとおくと、
α≠βのとき
x(n)=A1*α^n+A2*β^n　　（１）

となり重解のとき、
x(n)=A1*α^n+A2*n*α^n　（２）

となりますが、両式の違いであるnは
どのように導かれたのでしょうか。

またA1とA2の求め方も教えてもらえると助かります。
お願いします。

回答No.3

reiman · ベストアンサー

補則の質問は
猿と犬は形が違うのですがしかたがないのでしょうか?
という質問です。

お礼

わかりました。
ありがとうございます。

回答No.2

reiman

x(x)はx(n)の間違いでした。

A,Bが分かるかは愚かな質問だと分かったと思うので
(D-α)*x(n)=C*α^n
の一般解の求め方のヒントを言うと
(D-α)*x(n)≡α^(n+1)*(D-1)*α^(-n)*x(n)
は明らかなので個の四季は
(D-1)*α^(-n)*x(n)=α^-1*C
となる。両辺をnを0～n-1として辺々加えると
α^(-n)*x(n)-x(0)=n*α^-1*C
よって
x(n)=n*C*α^(n-1)+x(0)*α^n
A1=x(0)としA2=C/αとすればよい

補足

2度目のご回答は下の捕捉に対する回答か
わからなかったので、もう一度投稿させてもらいました。

α＝βの場合は
x(n)=n*C*α^(n-1)+x(0)*α^n　（１）
を導けました。

またα≠βの場合は
((x(0)-C/(αーβ))*β^n + C/(αーβ))*α^n　（２）

このとき
A1=x(0)としA2=C/αとおくと、(1)と(2)のA1,A2が
一致しませんが仕方ないのでしょうか。
それとも式変形で一致するのでしょうか。

回答No.1

reiman

DをD*x[n]=x[n+1]とする演算子とすると
x(n+2)-a*x(n+1)-b*x(n)=0
は
(D-α)(D-β)x(n)=0
となる。
y(n)≡(D-β)x(n)
とおくと
(D-α)y(n)=0
この一般解は
y(n)=C*α^n
よって
(D-β)*x(x)=C*α^n
この一般解を
α=βとα≠βの場合について出せば自ずと答えが出る。
A1,A2は任意で四季を満足するので初期条件を与えなければでないし
例えばx[1],x[2]が与えられればすぐにもとまることは誰でも分かる。

補足

回答ありがとうございました

計算するとα≠βの場合は
α^n*(x[1]-β*x[0])/(α-β)+β^n*(x[0]-(x[1]-β*x[0])/(α-β))

α＝βの場合は
α^n (x[0]+n*(x[1]-α*x[0])/α)

となりました。
α＝βの場合はnの項が出てきました。
ただA1,A2はα＝βとα≠βでは一致しないのですが
仕方ないのでしょうか。

A1,A2には線形性があり、線形変換を適応して一致すれば
いいということでしょうか？