∫［a,2a］y√4a^2-y^2］dy

質問

∫［a,2a］y√4a^2-y^2］dy

の導出過程が分からないです。

どのように計算したら良いか教えてくれるとありがたいです。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

x = 4a^2 - y^2　と置こうよ。
dx/dy = -2 y になる。

∫{y = a … 2a} y √(4a^2 - y^2) dy
= ∫{y = a … 2a} (-1/2)(dx/dy) √x dy
= ∫{x = 3a^2 … 0} (-1/2) √x dx
= [ (-1/3) x^(3/2) ]{x = 3a^2 … 0}
= (1/3) (3a^2)^(3/2)
= (√3) a^3

回答No.2

info22_

a>0とします。

y=2at (1/2≦t≦1)とおけば dy=2adt
I=∫［a,2a］y√4a^2-y^2］dy
=((2a)^3)∫[1/2,1] t√(1-t^2)dt
=((2a)^3)(-1/2)∫[1/2,1] (1-t^2)'√(1-t^2)dt
=-4(a^3)[(2/3)(1-t^2)^(3/2)] [1/2,1]
=4(a^3)(2/3)(3/4)^(3/2)
=(8/3)(3/4)(√3/2)a^3
=(√3)a^3

回答No.1

spring135

置換積分を行う。θを使いたいが変換が面倒なのでtを使う。

y=2asin(t)=2asint

とおくとdy=2acostdt

積分は

I=∫［a,2a］y√4a^2-y^2］dy=8a^3∫［π/6,π/2］sint(cost)^2dt

d(-cos^3t/3)/dt=sint(cost)^2より

I=8a^3∫［π/6,π/2］d(-cos^3t/3)
=8a^3［π/6,π/2］(-cos^3t/3)
=（√3）a^3