微分y*(dy/dx)+x-2y = 0について

質問

微分方程式について教えて下さい。
とある問題集があり、そこには最初の式と途中経過があるのですが
自分が試したところではどうしても結果が一致しませんでした。

問題は以下の通りです。
式中の y/x = u として進めていきます。

y*(dy/dx)+x-2y = 0　　　　　　　(1)
-> 1+u(u+x*(du/dx)) = 2u　　　　(2)
-> ∫((u/(u-1)^2)du = ∫(-1/x)dx　　 (3)
-> (u-1)x=C*e^(1/(u-1)) 　　　　 (4)

(1)が最初の方程式、(4)が結果です。
自分でやると(2)のところでは 1+u(dy/dx) = 2u になります。

(2)から(3)への計算は出来ますが(3)から(4)では
log(u-1)+u = -log(x)+C → log(u-1)x = C-u になり先に進めなくなります。

きっとどこかで勘違いしているのだと思うのですが、
何日かおいてみても間違いが分かりません。
どなたか、教えていただけないでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

> 自分でやると(2)のところでは 1+u(dy/dx) = 2u になります。

それでdy/dxはどうなるの？
y=uxなのだからdy/dx=u+x(du/dx)になるんじゃないの？

u/(u-1)^2=1/(u-1)+1/(u-1)^2だから(3)の右辺はlog(u-1)-1/(u-1)だよね。

お礼

的確なツッコミをありがとうございました。
まだ数式の変換等がうまく出来ず。助かりました。

回答No.2

bran111

y*(dy/dx)+x-2y = 0 (1)
y=uxとおく。
y'=u+xu'
(1)は
ux(u+xu')+x-2ux=0
x=0は解として無意味なのでx≠0としてxで割って整理すると
xuu'=-(u-1)^2
xu(du/dx)=-(u-1)^2
変数分離して
[-u/(u-1)^2]du=dx/x
v=u-1とおく。
u=v+1, du=dv
[-(v+1)/v^2]dv=dx/x
[1/v+1/v^2]dv=-dx/x
両辺積分して
logv-1/v=-logx+C
uに戻すと
log(u-1)-1/(u-1)=-logx+C
log(u-1)+logx=1/(u-1)+C
yに戻すと
log(y/x-1)+logx=1/(y/x-1)+C
log[(y/x-1)x]=x/(y-x)+C
log(y-x)=x/(y-x)+C　　　　(2)

これはy=f(x)の形にかけない場合であって、解yは(2)を満たすものというのが正解である。

お礼

詳細な解説をありがとうございました。
数式の変換がうまく出来ていないことを実感しました。
分かっていない箇所へのツッコミが大変適切だったため、もう一方の方をベストアンサーにさせていただきましたが、大変助かりました。
また分からない点があった時にはご助力下さい。