微分方程式：dy(t)/dt = - a * y(t)＾2

質問

こんばんわ。

No.1407071の質問に近いのですが、以下の微分方程式が解けなくて困っています。

　dy(t)/dt = - a * y(t)＾2
　　=> y'=-a*y^2ということ。

どなたか、教えていただけないでしょうか？
aは定数です。

回答No.1

adinat · ベストアンサー

規約違反に問われてまた削除されかねないので、ヒントだけ。

変数分離法を使いましょう。
-dy(t)/y(t)^2=dt
と変形して両辺を積分するのです。
答えはとても簡単な関数になると思いますよ～

回答No.2

eliteyoshi

変数分離形とみなしてもよいし、ベルヌーイの微分方程式とみなしても良いと思います。ここではベルヌーイ形で解いてみます。
dy/dt=-a・y^2 ・・・(1)

z=y^(1-2)=y^-1として

dz/dt=d(y^-1)/dt=[d(y^-1)/dy](dy/dt)
=-(1/y^2)(dy/dt)
↓
dy/dt=-y^2(dz/dt)
(1)に代入すると

-y^2(dz/dt)=-a・y^2
dz/dt=a
↓
z=at+b (bは積分定数)
↓
z=y^-1よりy^-1=at+bだから答えは

y=1/(at+b)

です。