∫√((a-y)/(y-c_2 ))dy=∫dx

質問

∫√((a-y)/(y-c_2 ))dy=∫dx

この計算の仕方を教えて下さい。
よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

√(a-y)(y-c_2)dy=√{-ac_2-y^2+(a+c_2)y}dy
=√{(a-c_2)^2/4-(y-(a+c_2)/2)^2}dy, A=(a-c_2)/2, B=(a+c_2)/2
=√{A^2-(y-B)^2}dy, y-B=z
=√{A^2-z^2}dz, z=Au, (-1≦u≦1)
=A|A|√(1-u^2)}du, u=sin(t),(-π/2≦t≦π/2)
=A|A|cos^2(t)dt
=(A|A|/2){1+cos(2t)}dt

といった変形と置換を使って積分すれば

A|A|{t+sin(2t)/2}=x+C

置換前の元の変数、定数に戻せばいいですね。

A|A|{arcsin(u)+u√(1-u^2)}=x+C
A|A|{arcsin(z/A)+(z/A)√(1-(z/A)^2)}=x+C
A|A|{arcsin((y-B)/A)+((y-B)/A)√(1-((y-B)/A)^2)}=x+C

後は, A=(a-c_2)/2, B=(a+c_2)/2を代入して整理するだけなので
ご自分でできますね。

お礼

回答ありがとうございました。

またよろしくお願いします。

回答No.3

drmuraberg

∫√((a-y)/(y-c_2 ))dy=∫dx

(a-y)/(y-c_2 )=tanY と置換すると、

左辺の積分は

2(c_2-a)∫sin^2YdY

となります。

定積分の場合は√内が負にならないyの
範囲を選んでください。

お礼

回答ありがとうございました。

またよろしくお願いします。

回答No.1

Ae610

∫√((a-y)/(y-c_2 ))dy=∫dx

c_2と言う記号はc^2のこと・・・？（一応其の様に解釈する）
左辺はyの積分、右辺はxの積分だから単に両辺共に積分するだけ！
・・・で、左辺について
√((a-y)/(y-c^2))=tとでも置いて置換積分を実行してtの有理関数の積分にした後、部分積分を行う

お礼

回答ありがとうございました。

またよろしくお願いします。