(y-x)dy/dx=y ヒント:u=(y-x)

質問

こんにちは。
こんな簡単な微分方程式も解けない理系の大学生です。
本当に恥です。

(y-x)dy/dx=y ヒント:u=(y-x)
について解き方を教えてもらえないでしょうか。

x=y=0という解を一応出してみたのですが、いかんせん自信がありません。

(y-x)dy/dx=y...(1)

u=y-xより
y'=1=(dy/dx)

(1)より
y-x=y
x=0

yy'=y
y'=1
y=x
y=0

という考え方をしたのですが。
もう自信が全然なくて...

回答No.2

Knotopolog · ベストアンサー

(y－x)dy/dx＝y

u＝y－x

両辺を x 微分すると，

du/dx＝dy/dx－1 故に，dy/dx＝du/dx ＋1
これらを　(y－x)dy/dx＝y　に入れると

u(du/dx ＋1)＝u＋x
u*du/dx ＋u＝u＋x
u*du/dx ＝x

この微分方程式を解くと，積分定数を　c　として,

∫u du ＝∫x dx ＋ c

(1/2)u^2＝(1/2)x^2 ＋ c

この式に　　を入れれば，

(1/2)(y－x)^2＝(1/2)x^2 ＋ c

(1/2)(y^2－2xy＋x^2)＝(1/2)x^2 ＋ c

(1/2)x^2 が消えるので，

(1/2)(y^2－2xy)＝ c
(1/2)y(y－2x)＝ c

y(y－2x)＝ 2c

積分定数　2c を　C　と書くと

y(y－2x)＝C

となり，y(y－2x)＝C が微分方程式　(y－x)dy/dx＝y　の一般解です．

＜検算＞

y(y－2x)＝C　の両辺を微分すると，
y'(y－2x)＋y(y－2x)'＝0
y'(y－2x)＋y(y'－2)＝0
yy'－2xy'＋yy'－2y＝0
2yy'－2xy'－2y＝0
yy'－xy'－y＝0
(y－x)y'－y＝0
(y－x)y'＝y

となりますから，一般解　y(y－2x)＝C 正しいです．．

お礼

もう、恥ずかしくて赤面です。

ほんとうに親切に教えてくださってありがとうございます！

回答No.1

Tacosan

u=y-xより
y'=1=(dy/dx)

の流れが理解できません. なんで「u=y-x」から「y' = 1 = dy/dx」が導けるんでしょうか?

ヒントを使って元の式から y を消去してください.

お礼

あ、u(x,y)なのにおかしいですね。

こんなことも気付けないなんて...