1.(d^4y/dx^4)+(2d^2y/dx^2)+8dy/dx)+

質問

1.(d^4y/dx^4)+(2d^2y/dx^2)+8dy/dx)+5y=0
2.(dy/dx)+1-x-x^2-(2x+1)y-y^2=0
3.{(x+1)d^2y/dx^2}+{(4x+5)dy/dx}+(4x+6)y={(x+1)^2}e^(-2x)
の一般解を求めたいです。
解答解説をお願いします。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

演算子法を用います。
D=d/dxとします。
(1)
(D^4+2D^2+8D+5)y=0.
係数を書き間違えてませんか？
(2)
y'=y^2+(2x+1)y+x^2+x-1.
y'+1=(x+y)^2+(x+y).
z=x+y.
z'=1+y.
z'=z^2+z.
z=z^3/3+z^2/2+C.
あとは展開するだけ.
(3)
まずは同次方程式を考える。
[(x+1)(D^2+4D+4)+(D+2)]y=0.
[(x+1)(D+2)+1](D+2)y=0.
よってexp(-2x)は同時方程式の解となる.
つぎにy=w×exp(-2x)として、階数低下法を用いる.
このyを問題の微分方程式に代入する.
(x+1)w"+w'=(x+1)^2.
w'=zとすると
z'+[1/(x+1)]z=(x+1).
これは一階の線形微分方程式なので解ける.
z
=exp(-log(x+1))[∫(x+1)exp(log(x+1))dx+C]
=1/(x+1)[∫(x+1)^2dx+C]
=-1/(x+1)^2+C/(x+1).
w=1/(x+1)+Clog(x+1)+B.
y=[1/(x+1)+Clog(x+1)+B]exp(-2x).

疲れたので終わり・・・

補足

ありがとうございます。
1.は係数あってました。