積分願います

質問

∫2√(a^2 - x^2 - y^2) dy

計算の過程と使った公式などもお願いします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

√内≧0より
　a^2 - x^2 - y^2≧0
　y^2≦a^2 - x^2
　-√(a^2-x^2)≦y≦√(a^2-x^2)
という暗黙の制限があると思いますが

I=∫2√(a^2 - x^2 - y^2) dy

の積分はyについての積分なので
a(>0)とx(<a)は定数として扱います。

a^2-x^2=k^2 (0<k<a) とおくと
I=∫2√(k^2 - y^2) dy
y=kcos(t)(0≦t≦π)とおくと dy=-ksin(t)dt
I=∫2k√(1 - (cos(t))^2) (-ksin(t))dt
=-2k^2∫|sin(t)|sin(t)dt
sin(t)≧0より
I=-k^2∫2(sin(t))^2dt
=-k^2∫(1-cos(2t)dt
=-k^2*(t-sin(2t)/2)+C (C:積分定数)
=-k^2*[cos^-1(y/k)-(y/k)√(1-(y/k)^2)] + C
=(x^2-a^2)cos^-1(y/√(a^2-x^2)) + y√(a^2-x^2-y^2) + C

お礼

ありがとうございました。