中学2年生の課題で、難しいものが

質問

中学2年生の課題で、難しいものが
学校の夏期課題という名目で幾何の課題で出た問題なんですが、いくら頭をひねってもひらめきません。そもそもとある事情で解答が存在するのかも不明ですので、そもそも解答が存在するのか、するならいったいどのように考えれば解決の糸口が見えて来るのか、アドバイスを賜りたく質問させていただきます。こんな問題です↓

△ABCと、線分BCを3:1に内分する点Dがある。∠ABC=2∠ADBならば、長さについてAC-AB=1/2(BC)が成り立つことを示せ。

△ABCにおいて、∠Aと∠Bの三等分線の交点のうち、線分ABに最も近いものを点Pとする。また∠Bと∠C、∠Cと∠Aについて、それぞれ同様に点Q、Rとするとき、△PQRは正三角形となることを示せ。(調べまくるとモーレーの定理と言うそうですが、まるで証明法がつかめません)

中線定理を用いる際の公式に登場する線分の長さがすべて自然数となる数の組をすべて求めよ。

球面幾何において、平面幾何における平行線の公理の類似を考案せよ。

空間幾何における立体図形の体積において、「1辺が1の立方体の体積は1である」「合同な平面図形の面積は等しい」「面積の加法性」という3つの公理だけで議論した場合、三角錐の体積をこれだけで求めることはできないが、どのような公理を追加すればよいか。

以上の問題です。どうぞアドバイスや助言よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44

脱線して、申し訳ないが、
その「鉄緑生」というのは、ウーロン茶の銘柄ですか？

回答No.2

alice_44

Morley は、「モーリー」と書くほうが多数派みたいですよ。
証明のやり方は 100 個以上もあるとの話ですが、
三角関数を知っていれば、コレ ↓ が簡単かと思います。
http://homepage2.nifty.com/sintakenoko/Cabri/CMorley.pdf
ただし、昨今の中２だと、三角関数は知らないかもしれないし、
初等幾何学屋さんは、この手の証明を「三角法的」といって嫌うんですよね。
モーリーの定理のユークリッド的な証明は、どれも難解なことが有名で、
それで、別証が山ほど作られたんですが。

お礼

その通り。私も三角関数は名前だけ知っている程度で、習ったこともありません。
その辺り理解できるようになったら頭良さげだな、位の意識です。しかし、理解だけは頑張ってしてみようと思います。曲がりなりにも鉄緑生ですので。
どうもありがとうございました。

回答No.1

alice_44

どこの世界の中学２年生なんでしょうか？
まあ頑張ってくださいとしか言えませんが…

一番下の問題の解答は、↓ この本に載っています。
http://bookweb.kinokuniya.co.jp/htm/4480089535.html
文庫だから、薄くて、安くて、お手頃です。

お礼

どうもありがとうございます。本の紹介もして頂いたようで、そちらも参考にさせて頂きます！
少し考察が深まりそうです。

それにしてもモーレーの定理とか証明法どっかに載ってないですかね・・・。名前もついていることですし、証明されていない問題を学校が出すはずがありませんし・・・。

そういうわけで、1歩前進はしたものの、まだまだ分からないところもあります！どうか助言お願いします！