「幾何学基礎論」順序の公理II４について

質問

ヒルベルトの「幾何学基礎論」の順序の公理II４は、「Ａ，Ｂ，Ｃを一直線上にない三点、aを平面ＡＢＣ上にあってＡ，Ｂ，Ｃのいずれをも通らない直線とせよ。直線aが線分ＡＢの点を通ればこれは又線分ＡＣもしくは線分ＢＣの点を通る。」というものですが、ヒルベルトが言うには線分ＡＣと線分ＢＣが同時に直線aに交わり得ぬ事は証明できるそうです。この事の証明をご存じの方がいれば、教えてください。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

根拠は、平行線公理でしょう。
直線 a が辺 BC, AC 両方と交わると仮定して、
背理法によって示します。

両方の交点を、それぞれ点 P, Q と置き、

直線 a, AB, BC に、ユークリッド第５公準を
当てはめると、a が線分 AB と交わることから、
∠ABP+∠BPQ が 180゜より小さいことが判ります。

∠BAQ+∠AQP が 180゜より小さいことも、
全く同様に示せます。

よって、四角形 ABPQ の内角の和が
360゜より小さいことになり、
三角形の内角の和が 180゜であることに
矛盾します。

お礼

平行線公理から証明されるのですね。私は結合の公理と順序の公理のみから証明しようとしたのですが、通りで出来ないはずですね。ありがとうございました。