図形

質問

四面体OABCにおいて
　　AB=4, AC=5, ∠BAC=60°
　　∠OAB=∠OAC=90°、cos∠OBA=2/3
である。

（1）△ABCの面積を求めよ。
（2）辺BCの長さを求めよ。また、辺OAの長さを求めよ。
（3）四面体OABCの体積を求めよ。また、点Aから平面OBCに引いた垂線と平面OBCとの交点をHとするとき、線分AHの長さを求めよ。

（1）は5√3、（2）の前半はBC=√21と求められたのですが、（2）の後半と（3）の解法がわかりません。回答、よろしくお願いしますm(__)m

回答No.3

ferien · ベストアンサー

ANo.2です。　少し訂正があります。

＞（3）四面体OABCの体積を求めよ。
OA⊥AB，　OA⊥AC　だから、OA⊥△ABC　より、底面△ABC，高さOA　とみると
体積＝(1/3)・5√3・2√5＝10√15/3

これでお願いします。

お礼

訂正、わざわざ入れてくださってありがとうございますm(__)m
わかりやすいです！！
本当にありがとうございました。
返事が遅くなってすみませんでした_(._.)_

回答No.2

ferien

＞四面体OABCにおいて
＞ 　　AB=4, AC=5, ∠BAC=60°
＞ 　　∠OAB=∠OAC=90°、cos∠OBA=2/3
＞ である。

＞（1）△ABCの面積を求めよ。
面積の公式より、
△ABC＝(1/2)・AB・AC・sin60°
＝(1/2)・4・5・(√3/2)
＝5√3

＞ (2）辺BCの長さを求めよ。
余弦定理より、
BC^2＝4^2＋5^2－2・4・5・cos60°
＝16＋25－40・(1/2)
＝21　より、BC＝√21

＞また、辺OAの長さを求めよ。
∠OAB＝90°より、△OABは直角三角形　だから、
∠AOB＝180°－90°－∠OBA＝90°－∠OBA　より、
sin∠AOB＝sin(90°－∠OBA)＝cos∠OBA＝2/3

sin∠OBA＝√{1－(2/3)^2}＝√(5/9)＝√5/3

正弦定理より、OA/sin∠OAB＝AB/sin∠AOB　だから、
OA/(√5/3)＝4/(2/3)　より、
よって、
OA＝(√5/3)・4・(3/2)＝2√5

＞（3）四面体OABCの体積を求めよ。
OA⊥AB　だから、OA⊥△ABC　より、底面△ABC，高さOA　とみると
体積＝(1/3)・5√3・2√5＝10√15/3

＞また、点Aから平面OBCに引いた垂線と平面OBCとの交点をHとするとき、
＞線分AHの長さを求めよ。
四面体OABCの頂点Aとみると、底面は△OBCで、
Aから△OBCに引いた垂線AHは、四面体の高さになる。
四面体の体積＝(1/3)・△OBC・AH＝10√15/3　……(*)　とおける。

△OBCの面積を求める。
△OABは直角三角形だから、
OB^2＝OA^2＋AB^2
＝(2√5)^2＋4^2
＝36　より、OB＝6

∠OAC＝90°より、△OACは直角三角形だから、
OC^2＝OA^2＋AC^2
＝(2√5)^2＋5^2
＝45　より、OC＝3√5

(2)より、BC＝√21
余弦定理より、
cos∠BOC＝(OB^2＋OC^2－BC^2)/2・OB・OC
＝(36＋45－21)/2・6・3√5
＝60/36√5
＝5/3√5
＝√5/3

sin^2∠BOC＝1－(√5/3)^2＝4/9　より、sin∠BOC＝2/3
面積の公式より、
△OBC＝(1/2)・OB・OC・sin∠BOC
＝(1/2)・6・3√5・(2/3)
＝6√5

(*)より、
(1/3)・6√5・AH＝10√15/3
よって、AH＝10√15/6√5＝5√3/3

図を描いて、計算を確認してみてください。

回答No.1

info22_

（1）
　△ABCの面積S=(1/2)AB*AC*sin60°=(1/2)*4*5*√3/2=5√3
合ってます。

（2）
辺BCの長さ
余弦定理より
BC^2=AB^2+AC^2-2AB*ACcos60°=16+25-2*4*5*(1/2)=21 ∴BC=√21
合ってます。

辺OAの長さ
sin∠OBA=√{1-(cos∠OBA)^2}=√{1-(2/3)^2}=√5/3
tan∠OBA=sin∠OBA/cos∠OBA=√5/2

∴OA=ABtan∠OBA=4*√5/2=2√5

（3）
四面体OABCの体積V=△ABC*OA/3=5√3*2√5/3=(10√15)/3

OB=AB/cos∠OBA=4/(2/3)=6
OC=√(AC^2+OA^2)=√(25+20)=3√5
ヘロンの公式より
2s=OB+OC+BC=6+3√5+√21
△OBC=√{s(s-OB)(s-OC)(s-BC)}
=√{(6+3√5+√21)(-6+3√5+√21)(6-3√5+√21)(6+3√5-√21)}/4
=√{((3√5+√21)^2-36)((6+√21)^2-45)}/4
=√{(30+6√105)(12+12√21)}/4
=√{72(5+√105)(1+√2)}/4
=(3/2)√{2(5+5√2+√105√210)}

四面体OABCの体積V=△OBC*AH/3=(10√15)/3
AH=(10√15)/△OBC
=(10√15)/{(3/2)√{2(5+5√2+√105√210)}}
=(20(√15)/3)/√{2(5+5√2+√105√210)}}

（注）やり方は合ってますが、計算に自信ありませんので、ご自分で計算して確認して下さい。