中学2年生の幾何を教えて下さい。

質問

1.△ABCにおいて（添付図　1）
DF//EG//BC、GH//AB
AD:DE:EB=1：1：2である。
このときの次の面積比を求めよ。

（1）△ADF:四角形DEGF

（2）四角形EBHC:△ABC

2.△ABCにおいて（添付図　2）
AE:EB=AF:FC=1:2であり
BFとCEの交点をGとし
EとFを結ぶ。
このときの次の問に答えよ。

（1）EF:BC

（2）面積比△GFE：△GBC

（3）面積比△GFE:△GBE

（4）面積比△ABC:△GFE

3.相似な2つの図形FとGが合って」その相似比は2：3であるとき

（1）Fの周りの長さが10センチのとき　Gの周りの長さは？

（2）Gの面積が36平方センチのとき　Ｆの面積は？

中学生が理解できるように　出来るだけ簡単に
ご解答お願いします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

＞1.△ABCにおいて（添付図　1）
＞DF//EG//BC、GH//AB
＞AD:DE:EB=1：1：2である。
＞このときの次の面積比を求めよ。

＞（1）△ADF:四角形DEGF
ＤＦ//ＥＧより、２組の同位角が等しいから、
△ＡＤＦ相似△ＡＥＧ
だから、相似比（辺の比）＝ＡＤ：ＡＥ＝１：２
相似な図形の場合は、面積比＝相似比の２乗だから、
△ＡＤＦ：△ＡＥＧ＝１^2：２^2＝１：４
四角形ＤＥＧＦ＝△ＡＥＧ－△ＡＤＦ＝４－１＝３より、
△ＡＤＦ：四角形ＤＥＧＦ＝１：３

＞（2）四角形EBHC:△ABC
ＢＥ//ＧＨ，ＥＧ//ＢＨより、四角形ＥＢＨＧは平行四辺形
だから、ＥＢ＝ＧＨ　…（１）
△ＡＥＧと△ＡＢＣとで、
ＥＧ//ＢＣより、２組の同位角が等しいから、
△ＡＥＧ相似△ＡＢＣ
相似比＝ＡＥ：ＡＢ＝１：２より、
△ＡＥＧ：△ＡＢＣ＝１^2：２^2＝１：４だから、△ＡＥＧ＝(1/4)△ＡＢＣ
△ＧＨＣと△ＡＢＣとで、同様にして
△ＧＨＣ相似△ＡＢＣで、
相似比＝ＧＨ：ＡＢ＝ＥＢ：ＡＢ＝１：２…（１）より
あとは全く同様にして、△ＧＨＣ＝(1/4)△ＡＢＣ
四角形ＥＢＨＣ＝△ＡＢＣ－△ＡＥＧ－△ＧＨＣ
＝△ＡＢＣ－(1/4)△ＡＢＣ×２＝(1/2)△ＡＢＣ
よって、四角形ＥＢＨＧ：△ＡＢＣ＝１：２

＞2.△ABCにおいて（添付図　2）
＞AE:EB=AF:FC=1:2であり
＞BFとCEの交点をGとし
＞EとFを結ぶ。
＞このときの次の問に答えよ。
＞（1）EF:BC
△ＡＥＦと△ＡＢＣとで、
∠Ａ共通，
ＡＥ：ＡＢ＝ＡＦ：ＡＣ＝１：３より、
２辺の比と挟む角が等しいから、
△ＡＥＦ相似△ＡＢＣ
よって、ＥＦ：ＢＣ＝ＡＥ：ＡＢ＝１：３

＞（2）面積比△GFE：△GBC
△ＡＥＦ相似△ＡＢＣより、
∠ＡＥＦ＝∠ＡＢＣから、同位角が等しいから、
ＥＦ//ＢＣ　……（＊）
△ＧＦＥと△ＧＢＣとで、
（＊）より、錯角が等しいから、
∠ＧＦＥ＝∠ＧＢＣ
∠ＧＥＦ＝∠ＧＣＢ
２つの角が等しいから、
△ＧＦＥ相似△ＧＢＣだから、
相似比＝ＦＥ：ＢＣ＝１：３より、
△ＧＦＥ：△ＧＢＣ＝１^2：３^2＝１：９

＞（3）面積比△GFE:△GBE
△ＧＦＥ相似△ＧＢＣより、
ＧＦ：ＧＢ＝１：３
△ＧＦＥと△ＧＢＥで、Ｅを頂点と見ると、高さが同じだから、面積比＝底辺の比になる。
△ＧＦＥ：△ＧＢＥ＝ＧＦ：ＧＢ＝１：３

＞（4）面積比△ABC:△GFE
△ＡＢＦと△ＡＢＣで、Ｂを頂点と見ると、
△ＡＢＦ：△ＡＢＣ＝ＡＦ：ＡＣ＝１：３から、△ＡＢＦ＝(1/3)△ＡＢＣ
△ＥＢＦと△ＡＢＦで、Ｆを頂点と見ると、
△ＥＢＦ：△ＡＢＦ＝ＥＢ：ＡＢ＝２：３から、
△ＥＢＦ＝(2/3)△ＡＢＦ＝(2/3)×(1/3)△ＡＢＣ
△ＧＦＥと△ＥＢＦで、３より、△ＧＦＥ：△ＧＢＥ＝１：３だから、
△ＧＦＥ：△ＥＢＦ＝１：（１＋３）＝１：４から、
△ＧＦＥ＝(1/4)△ＥＢＦ＝(1/4)×(2/3)×(1/3)△ＡＢＣ＝(1/18)△ＡＢＣ
よって、△ＡＢＣ：△ＧＦＥ＝１８：１

＞3.相似な2つの図形FとGが合って」その相似比は2：3であるとき
＞（1）Fの周りの長さが10センチのとき　Gの周りの長さは？
相似比は長さの比だから、Ｆ：Ｇ＝２：３より、
１０：Ｇ＝２：３より、Gの周りの長さ＝１０×３／２＝１５センチ

＞（2）Gの面積が36平方センチのとき　Ｆの面積は？
相似な図形の面積比＝相似比の２乗だから、Ｆ：Ｇ＝２^2：３^2＝４：９
Ｆ：３６＝４：９より、Ｆの面積＝３６×４／９＝１６平方センチ

長いですが、中学校程度の内容しか使っていないと思います。
図を見ながら確認してみて下さい。

回答No.1

Tacosan

「相似比」とはどのようなものなのか, そして「相似比と面積比」との関係がどうなっているのかを考える.