点の集合が長さ、面積、体積を持つ理由

質問

点の集合が長さ、面積、体積を持つ理由

高校生です。
線分や平面図形、立体図形は点の集合であるのに、それらが長さや面積や体積を持つのはどうしてなのでしょうか。

回答よろしくお願いします。

回答No.4

boiseweb

質問者さんは「線分や平面図形，立体図形は点の集合」とあっさり書いていますが，実は，「集合」という考えが数学の世界で積極的に使われるようになったのは100年ほど前で，長い数学の歴史から見ればものすごく「新しい」考え方なのです．

一方，点や線や平面や立体を扱う幾何学は，それよりはるか昔（2000年以上前）のユークリッドの時代から存在したものです．そして，その時代にも長さや面積や体積の考えはありました．集合の考えが（少なくとも現代のそれと同等の意味では）確立していなかった時代には，「点の集合が長さや面積や体積をもつのはなぜか」という疑問はそもそも起こる素地がなかったと想像します．

ところが，100年ほど前に「集合」という考えが数学にもたらされ，線や面や立体が「点の集合」と理解されるようになると，数学者は否応なく「『点の集合』の長さや面積や体積とは何か？」という根源的な問いに対峙しなければならなくなります．きっと，当時の数学者は今の質問者さんと同じように苦悶したことでしょう．
そして，当時の数学者は「『点の集合』の長さや面積や体積とは何かという問いに答えるための基礎を，実はわれわれは持っていなかったのだ！」と気づいたのです．そして，「『点の集合』の長さや面積や体積とは何か」を（私たちがすでに持っている図形や集合に対する認識と整合するように）きちんと説明するための理論（測度論）を構築したのです．

質問者さんの問いというのは，実は，そのぐらい，数学における根源的な問いかけなのです．

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参考までに，次の文章を一読されることをおすすめします．

入江幸右衛門：直線とは何ですか。０はいくら足しても０ですか。
（情報数理科学講座：大阪府立大学理学部情報数理科学科）
http://www.mi.s.osakafu-u.ac.jp/lec/mi-lecture.html#ir

この文章には，質問者さんの疑問への直接的な答は書かれていません．むしろ「高校までの数学ではその問いに答え得ない，高校までの数学は根本的なところをブラックボックスにした数学なのだ」という趣旨で書かれています．

回答No.3

fusem23

線分は、確かに点の集合です。
そうでなければ、線と線の交わりが点にはなりません。
つまり、どちらの集合にも含まれている要素が点であり、線分が点の集合であることを表しています。

問題は、点の集め方です。
１個２個３個…と集めていては、線分などにはなりません。
１個２個４個…と倍々に増えていけば、線分を埋め尽くすことができます。

なお、点の個数と長さや面積や体積には関係がありません。
そもそも、どんな図形に含まれている点の数も同じです。
線分と平面図形、立体図形も同じです。
長さや面積や体積は、点の性質や数から出てくるものではありません。
長さや面積や体積は、点の広がりを表します。

回答No.2

takurinta

線分は点の集合ではない、と考えてはいかがでしょうか。

線分上に無限の点をとることができますが、無限の点をいくら集めてもスカスカで線分にはならないと思います。

私は測度論 (積分の話) が苦手なので、誰かが点と点の間の距離が定義できることを説明してくれることを期待。

お礼

なるほど！
確かに、「点をいくら集めても線分にはなりえない」と考えればつじつまが合いますね。

「点を集めれば線分になる」という説明は後付けのものなのかも。

「ユークリッド幾何学では直線はもともと定義されてはいない」と昔wikipediaで読んだ記憶がありますが、だとすれば線分も直線を切り取ったものと考えれば明確な定義はないことになるのでしょうね。

考えてみれば、低次元のものから高次元のものを作るなんて無理な話なのかもしれませんね…

回答ありがとうございます。

回答No.1

noname#198951

点が集まって真っ直ぐ並べば直線になり"長さ"
直線を横に並べれば面になり"面積"
面を積み重ねれば立体になり"体積"
というのでは理解できませんか？

お礼

「点が集まれば直線になり、直線が集まれば平面になり、平面が集まれば立体になる」ということ、
「線分は長さを持ち、平面図形は面積を持ち、立体図形は体積を持つ」ということに関しては常識的な問題として理解しているつもりです。

わたしがお聞きしたかったのは、
（長さ、面積、体積をもたない）点の集合としての線分、平面図形、立体図形がどうして長さや面積や体積をもつことができるのか、ということです。

説明不足ですみません。