メネラウスの定理

質問

△ABCにおいて辺BC上に3BP=BCを満たす点Pをとり辺AB上に3AQ=ABを満たす点Qをとる。APとCQの交点をTとするとき△ABCの面積は△AQTの面積の何倍であるか

メネラウスの定理よりPC/BP×TQ/CT×AB/QA=1
1/3×TQ/CT×3/1=1
TQ/CT=1だから
TQ:CT=1:1
というのまでは分かったのですがここからが分かりません 比の問題や初等幾何は苦手で(恥ずかしながら、小学生の頃は勉強から逃げてました)何度も質問してしまうかもしれませんが、解説して頂きたいと思います お願いします

回答No.1

kacchann · ベストアンサー

(第一分割)

三角形ABCがあるでしょ。
底面をABと見るでしょ。
で、この三角形は線分CQによって
2つに分かれてるでしょ。
1つは底面AQの三角形、
もうひとつは底面BQのやつ。
この三角形の面積をそれぞれs1,s2とするでしょ。
また、三角形ABCの面積をsとするでしょ。

(A)
ここで、
s1:s2=AQ:BQ=1:2でしょ。
(※高さの等しい2つの三角形の面積比は、底面の比に等しい)

(B)
ところで、s1+s2=s
だよね。
ということは
s1:s=s1:(s1+s2)=1:3だから
s1=s×(1/3)だよね。

ちょっとまどろっこしく書いたけど、
このへんは
考え方になれてれば、
瞬時に答えが出るといえば出るけど。

---
(第二分割)

話し変わって。
三角形AQCがあるでしょ。
底面をQCとみると、
この三角形は、線分ATによって2つの三角形に分かれてるでしょ。
その2つの三角形の面積比は
前述の(A)の箇所と同じ論理で
三角形ATQ:三角形ATC=QT:TC

ということは前述の(B)の箇所と同じ論理で
三角形ATQ＝三角形AQC×(QT/(QT+TC))
---

ようするにもとの三角形を
上記のように二回分割(※せんべいのようにパキパキ割る)れば、
小さいせんべいATQが作り出せるはずだぜ！
という感覚を念頭におけば
上述の解答方針もすんなり思い浮かぶ感じね。
---

ちなみにメネラウスの定理に
数値代入するときに
ミスしてるっぽい。

1/3×TQ/CT×3/1=1

じゃないね。

2/1×TQ/CT×3/1=1

か？
---

こたえは21倍であってる？

補足

答えは同じ21倍です 確かに1/3×TQ/CT×3/1=1ではなく2/1×TQ/CT×3/1=1です 勘違いしていました
やり方はよく分かりました、ありがとうございます！
補足質問なのですが、
＞s1:s2=AQ:BQ=1:2でしょ。
＞(※高さの等しい2つの三角形の面積比は、底面の比に等しい)
という部分で、なぜ△AQCとBQCの高さが同じと言えるのかが分かりません
同じく
＞前述の(A)の箇所と同じ論理で
＞三角形ATQ:三角形ATC=QT:TC
という部分も、△ATQと△ATCの高さが同じと言える理由が分かりません 出来れば解答してください お願いします

回答No.9

ferien

ANo.6ANo.7です。

＞これはCから底辺への垂線とCQが、Aから底辺への垂線とATが一致ということですか？
に対して回答していませんでした。
Ｃから底辺への垂線とＣＱは一致しません。ＣＱがＡＢと垂直という条件があれば、ＣＱは垂線になりますが、何もなければ、普通は垂線とは考えません。
同じように、ＡＴとＡから底辺の垂線も一致しません。垂直という条件がなければ、普通はＡＴはＱＣの垂線とは考えません。

これも図を描いて見ればすぐに分かることです。
図を描いて考えれば、思い違いや計算ミスなどを防げる場合もあります。
どうでしょうか？

お礼

なるほど
分かりました 長い間ありがとうございました

回答No.8

kacchann

#1です。

＞つまり底辺がACでもABでも高さは同じなんですね

う、違う。

三角形は、
「底辺を決めると」高さが決まる。
よって、
ひとつの3角形において
「底辺とする辺」がことなれば、
「それに対応する高さ」もそれぞれ異なるの。
ようするに1つの三角形には
「高さが三つ」あるの。原則的には。
(それらの値が偶然に等しくなる場合があるけど。正三角形とか)

http://homepage2.nifty.com/in/san/5/h17/m/teitakP22.html
この(3)ってところクリックしてみて。
フラッシュが使えないと見れないけど。

わかったかな？

もしわからなければ、
明日本屋に行って、
小学校の問題集さがして、
「三角形の高さを求めてみよう！」
とかいうの解きまくれば
たぶんすぐ理解できると思う。
理屈より実践。体感しないとね。

お礼

良く分かりました
何度もありがとうございました

回答No.7

ferien

ANo.4です。無駄な書き込みが多くなって申し訳ないです。補足について

＞＞Ｃ，Ａからそれぞれの底辺に対して垂線を引けば一致するので
＞CからABに垂線を引くとCQに、AからCQに垂線を引くとATに一致するということだと思いますが、
＞何故そうなるのか分かりません・・・
△ＡＢＣと△ＡＱＣで、ＣからＡＢに対して、ＣからＡＱに対して垂線を引くと、全く同じ位置に垂線が引けることになり、それが高さになります。
△ＡＱＣと△ＡＱＴで、ＡからＱＣに対して、ＡからＱＴに対して垂線を引いても、同様です。
垂線を引くためには、底辺を延長しなければならないこともあるので、結局、同じ点から同じ直線上に垂線を引いていることになるので、垂線は一致します。
実際描いてみれば、すぐに分かることです。

どうでしょうか？

補足

CからABに引いた垂線とCQが同じということですね
何故同じなのでしょうか？
図は信用できないので・・・

回答No.6

ferien

ANo.4です。変なところで文章が繋がってわかりにくくなったので、改めて入力します。

Ｃ，Ａからそれぞれの底辺に対して垂線を引けば一致するので、高さは同じと言うことになります。
図を描いてみれば分かることなので、そんなに難しいことではありません。
面積比については、三角形の面積の公式を思い出せば分かると思います。

補足

＞Ｃ，Ａからそれぞれの底辺に対して垂線を引けば一致

これはCから底辺への垂線とCQが、Aから底辺への垂線とATが一致ということですか？

回答No.5

kacchann

＃1です。

ごめんなさい。
一部、訂正。

>底面をABと見るでしょ。

"底面"じゃなくて、"底辺"ですね。
---

さて。
「高さ」とはなにか。

まず、「底辺あっての高さ」なの。
まず底辺ありき。
---

水槽を用意するでしょ。
で、その水槽の中に
「底辺をABとして」
三角形ABCを、
水槽の床面に垂直に立てるでしょ。
(頂点Cが上ね)

このときの「高さ」とはなにか。
---
高さというのは、
この水槽に水を流し込んでいったとき、
水面がちょうど頂点Cに達したときの、
そのときの「水槽の中の水の高さ」のことなの。
これが高さの定義。

これは三角形の外形に関係ないの。
頂点Cが辺ABの上のほうにあろうと、
辺ABより、すごーく左のほうにあろうと、
関係ないの。

この「定義」をふまえれば、
Cのところからハサミをいれて2つに分割しても、
10分割しても、
それぞれの三角形の
「高さ」は変わらない。

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math/triangle_area1.htm
(※図1参照。3つとも高さは同じ)

わかったかな～？

お礼

思い出しました つまり底辺がACでもABでも高さは同じなんですね
長い間ありがとうございました

回答No.4

ferien

ANo.2です。

＞Ｃ,Ｔ,Ｑは一直線上なのでPC/BP×TQ/CT×AB/QA=1が成り立ちます
分かりました。２／１×ＴＱ／ＣＴ×３／１＝１から比が出るので、それでよいと思います。

＞△ＡＢＣと△ＡＱＣで、Ｃを頂点、ＡＢ、ＡＱを底辺と見れば、高さが同じなので
＞△ＡＱＣと△ＡＱＴで、Ａを頂点、ＱＴ，ＱＣを底辺と見ると、高さが同じなのでの高さが同じと言えＣ，Ａからそれぞれの底辺に対して垂線を引けば一致するので、高さは同じと言うことになります。
後は、三角形の面積の公式を思い出せば分かると思います。

補足

しつこいですが理解に至らないので・・・すみません
＞Ｃ，Ａからそれぞれの底辺に対して垂線を引けば一致するので
CからABに垂線を引くとCQに、AからCQに垂線を引くとATに一致するということだと思いますが、何故そうなるのか分かりません・・・

回答No.3

kacchann

#1です

>なぜ△AQCとBQCの高さが同じと言えるのかが分かりません

ボール紙みたいなので
三角形ABC作るでしょ。
底面をABと見るでしょ。
で、この底面を机につけて、
三角形を「立てる」でしょ。
(頂点Cが上ね)
この三角形の高さをhとするでしょ。

次に、三角形を立てたままで、
線分CQのところにハサミをいれて、
三角形を2つにするでしょ。
で、この2つの三角形の高さは、
どちらも同じでhだよね？

実際に工作して
実際に高さを測ってみれば
納得すると思うけど。

補足

CQがABの垂線であれば△AQCと△BQCの高さは同じになります
しかしABを1:2に内分する点にCから線を下ろすとABの垂線になる理由が分からないんです
例えばABを1:2に内分する点QがCからABへ下ろした垂線の左にあれば、△AQCの高さはQからACに下ろした垂線で△BQCの高さはCからQBに下ろした垂線になりませんか？

回答No.2

ferien

＞△ABCにおいて辺BC上に3BP=BCを満たす点Pをとり辺AB上に3AQ=ABを満たす点Qをとる。
＞APとCQの交点をTとするとき△ABCの面積は△AQTの面積の何倍であるか
図を描いてみれば分かりますが、Ｐ，Ｑ，Ｔは一直線上にないので、メネラウスの定理は使えないと思います。TQ:CT=1:1でないことも図を描いてみればすぐ分かります。
ＱＴ：ＴＣを求めるために、ベクトルを使います。
ベクトルＡＢ＝ベクトルａ，ベクトルＡＣ＝ベクトルｂとします。
3BP=BCより、ＢＰ：ＢＣ＝１：３だから、ＢＰ：ＰＣ＝１：２　……（１）
3AQ=ABより、ＡＱ：ＡＢ＝１：３だから、ベクトルＡＱ＝（1/3)ＡＢ＝(1/3)ａ
以下は、ベクトルを表します。
ＱＴ：ＴＣ＝ｔ：（１－ｔ）とします。
ＡＴ＝（１－ｔ）ＡＱ＋ｔＡＣ
　　＝(1/3)（１－ｔ）ａ＋ｔｂ　……（２）
（１）より、
ＡＰ＝２ＡＢ＋１ＡＣ
　　＝２ａ＋ｂ
Ａ，Ｔ，Ｐは一直線上にあるから、
ＡＴ＝ｋＡＰとおけるから、
ＡＴ＝ｋ（２ａ＋ｃ）
　　＝２ｋ＋ｋｂ　……（３）
（２）（３）の係数を比較すると、
(1/3)（１－ｔ）＝２ｋ，ｔ＝ｋ
連立方程式で解くと、ｔ＝１／７＝ｋより、１－ｔ＝６／７
よって、ＱＴ：ＴＣ＝（１／７）：（６／７）＝１：６
△ＡＢＣと△ＡＱＣで、Ｃを頂点、ＡＢ、ＡＱを底辺と見れば、高さが同じなので、
面積比は底辺の比ＡＢ：ＡＱ＝３：１と同じ
よって、△ＡＱＣ＝（１／３）△ＡＢＣ
△ＡＱＣと△ＡＱＴで、Ａを頂点、ＱＴ，ＱＣを底辺と見ると、高さが同じなので、
面積比は底辺の比ＱＴ：ＱＣ＝１：７と同じ
だから、△ＡＱＴ＝（１／７）△ＡＱＣ＝（１／７）×（１／３）△ＡＢＣ
よって、△ＡＢＣ＝２１△ＡＱＴより、
△ＡＢＣは、△ＡＱＴの２１倍

でどうでしょうか？　図を描いて考えてみて下さい。

補足

確かにＰ,Ｑ,Ｔは一直線上にありませんが、Ｂを頂点にして左下をＣとして考えるとＣ,Ｔ,Ｑは一直線上なのでPC/BP×TQ/CT×AB/QA=1が成り立ちます
ただ、メネラウスの定理を使えないときのベクトルでの考え方はとても参考になります ありがとうございます！
No.1さんと同じ疑問なのですが
＞△ＡＢＣと△ＡＱＣで、Ｃを頂点、ＡＢ、ＡＱを底辺と見れば、高さが同じなので
＞△ＡＱＣと△ＡＱＴで、Ａを頂点、ＱＴ，ＱＣを底辺と見ると、高さが同じなのでの高さが同じと言える理由が分かりません 出来れば解説してください お願いします