フーリエ級数展開の問題

質問

フーリエ級数展開の問題

このフーリエ級数展開の問題が分かりません.
アドバイスいただけたら幸いです

f(x)= a0/2+ Σ(k=1→∞) ( ak*coskx + bk*sinkx)

でa0,bk,akは実数です

(a)次の関数をフーリエ級数展開せよ
g(x ) = ( π - x ) ( 0 < x < 2π )
= 0 x=0

(b) (a)の結果より、（1）（2）を証明せよ

(1) (1/2π)*∫(0→2π) f(x)* ( π - x ) dx =Σ(k=1→∞) (bk/k)

(2) (1/2π)*∫(0→2π) f(x+t)* ( π - x ) dx =Σ(k=1→∞) (bk*coskt - ak*sinkt) /k

(c) (b)の結果より、次の値を求めよ

Σ(k=1→∞) ( (-1)^n) / n^2

補足
(ｂ)以降が分かりません
(a)はbk=2/kだとおもいまし
a0,akともに0だと思います

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

(b)
(a)より
f(x)=Σ(k=1→∞) 2sin(kx)/k
なので
(1)
左辺に代入し、Σと∫の順序を交換すれば右辺になります。
g(t)のフーリエ展開係数bkの定義式がでてきますのでbkで置き換えるだけです。

(2)
右辺は間違っています。チェックしてみてください。
誤：Σ(k=1→∞) (bk*coskt - ak*sinkt) /k
正：Σ(k=1→∞) (bk*coskt + ak*sinkt) /k

訂正すれば
f(x+t)=Σ(k=1→∞) 2sin(kx+kt)/k
=Σ(k=1→∞) 2{sin(kx)cos(kt)+cos(kx)sin(kt)}/k
を左辺に代入し、Σと∫の順序を交換すれば右辺になります。
g(t)のフーリエ展開係数bk,akの定義式がでてきますのでそれぞれbk,akで置き換えるだけです。

(3)
(2)でt=1,ak=0,bk=2/kとおいてk⇒nと置き換えると求める式になります。
(1)の式のf(x)をf(x+1)で置き換えて、x+1=yの変数変換をしてみて下さい。

お礼

回答ありがとうございます。

内容も非常に分かりやすく、よく理解できました
間違いも指摘していただき、ありがとうございます.

回答No.1

Tacosan

f(x) にそれなりな仮定が必要かもしれんけど, (b) は「フーリエ係数がなぜあのように求まるのか」がわかればわかるんじゃないかな. (c) は (b) で適当な f(x) を使えばいいと思う.