フーリエ級数展開

質問

f(x)=x^2　(-π<=x <π) f(x+2π)=f(x) のフーリエ級数展開を求めよ。
またその結果を利用して次の式を示せ。1+1/2^2+1/3^2+・・・=π^2/6

この問題はどのようにして求めればよいでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

質問のf(x)のフーリエ級数展開係数の詳しい計算過程は参考URL
にそっくり載っていますのでご覧下さい。

参考URL
http://www.sic.shibaura-it.ac.jp/~sasano/lecture/math/2009/math1stJune2009.pdf

後半の式の導出法は以下のようにすれば良いでしょう。

x^2のフーリエ級数展開式

f(x)=x^2 =π^2/3 + 4 Σ(k=1～∞) (1/k^2)(－1)^k cos kx

でx=πとおけば (－1)^k cos kx = 1 となるので

π^2 =π^2/3 + 4 Σ(k=1～∞) (1/k^2)

この式の「Σ(k=1～∞) (1/k^2)」= 1+1/2^2+1/3^2+ …
から　「＝π^2/6」が導出できるのでやってみて下さい。

チャンと計算過程をフローして理解するようにして下さい。

お礼

回答ありがとうございます。
頑張って理解したいと思います。
ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

どのようにもこのようにもなく, フーリエ級数展開してなにかをつっこんでなんかするんじゃないかな.