フーリエ級数を求める問題です

質問

f(t) = |t| - π (-π≦t≦π)
このf(t)のフーリエ級数を求める問題が解けません

a0=1/2π∫ftdt より
=1/π∫(t-π)dt
=1　となったのですが合ってますでしょうか？
ak、bkは途中の計算で詰まってわからない状態です

回答No.1

kshun · ベストアンサー

フーリエ級数がf(t)=a0/2+Σ（akcosｋω０ｔ＋ｂksinｋω０ｔ）で与えられるとします。但し、ω０＝2π/Tとする。

(1)与式f(t)をまず図に描いてみて下さい。すると、
これは偶関数f(t)=f(-t)であると気づくはずです。
ですから奇関数であるsinの係数bkは零になることが明らかです。

(2)aoを考えてみると、
a0=2/2π{∫(-t-π)dt (-π≦ｔ＜０)＋∫(t-π)dt (０≦ｔ≦π)}
よりa0=-πです。もう一度確認してみて下さい。

(3)どんな計算をして詰まってしまったのか書いていないので何とも言えませんが、aｋを考えてみると、周期T＝2πであることをに注意して
ak=2/2π{∫(-t-π)cosｋdt (-π≦ｔ＜０)＋∫(t-π)cosｋdt (０≦ｔ≦π)}となります。
これを、部分積分法によって計算できます。

(4)akをK=2n-1と２ｎ(但しｎは自然数)に場合分けして、a2n-1とa2nを求め、最初の式に係数を代入すればフーリエ級数が得られます。