確率の問題で質問です。

質問

確率の問題で質問です。
先生や友人にも幾度か訊いたのですがどうしても理解することができなかったので、質問致します。

28匹のダンゴムシと12匹のワラジムシが飼育ケースの中に入っています。その中から5匹を取り出した場合、ワラジムシが3匹以上入っている確率は幾らでしょう。

というのが問題です。僕はとても数学が苦手で、まだ数学Aを習っていないのですが、どうにかしてこの系統の問題を解けるようになりたいです。なので、段階を踏んで丁寧にご教授していただけると嬉しいです。

また、この系統の問題を理解するのに適した問題がありましたら、そちらについても教えていただけると嬉しいです。

文章が整っていなくてすいません。よろしくお願いします。

回答No.3

hananoppo

何故ダンゴムシとワラジムシ？
思わず笑ってしまいました。

さて、本題です。
ムシは全部で、28 + 12 = 40匹です。
40匹の中から5匹を取り出す組み合わせは全部で
　　40Ｃ5 = 40! / (5!*35!)
　　　　　= 40*39*38*37*36 / (5*4*3*2)
　　　　　= 13*38*37*36通り

ワラジムシ12匹から3匹を選ぶ組み合わせは
　　12Ｃ3通り
これにダンゴムシ2匹を加える組み合わせは
　　12Ｃ3 * 28Ｃ2 = 12! / (3!*9!) * 28! / (2!*26!)
　　　　　　　　　= 12*11*10 / (3*2) * 28*27 / 2
　　　　　　　　　= 83160通り

ワラジムシ12匹から4匹を選ぶ組み合わせは
　　12Ｃ4通り
これにダンゴムシ1匹を加える組み合わせは
　　12Ｃ4 * 28Ｃ1 = 12! / (4!*8!) * 28! / (1!*27!)
　　　　　　　　　= 12*11*10*9 / (4*3*2) * 28
　　　　　　　　　= 13860通り

ワラジムシ12匹から5匹を選ぶ組み合わせは
　　12Ｃ5 = 12! / (5!*7!)
　　　　　= 12*11*10*9*8 / (5*4*3*2)
　　　　　= 792通り

よって、取り出した5匹の中にワラジムシが3匹以上いる組み合わせは
　　83160 + 13860 + 792 = 97812通り

故に、取り出した5匹の中にワラジムシが3匹以上いる確率は
　　97812 / (13*38*37*36) = 11 / 74

回答No.2

naniwacchi

おはようございます。

数学Aをまだ習っていないということですから、
ここでの説明は結構大変（長くなってしまう）と思います。
一度、「順列・組合せ」といったキーワードで検索してみてください。
いまの問題では「組合せ」という考え方を使います。
ただし、「組合せ」をきちんと理解しようとすると、「順列」をまず理解しないといけません。

ただ、#1さんも言われているように大前提があります。
それは確率の問題でちょくちょく出てくる「同様に確からしい」ということです。

ケースから取り出そうと手を入れたとき、丸まったものはダンゴムシだとわかってしまうと、
意図的にワラジムシだけ選べてしまいますね。
たとえば、中が見えないような箱にはいっているといった条件が整っている必要があります。
「赤のボール 28個と黒のボール 12個が入っている箱」を考えるのも同じことですが、
外から見えないような箱にいれるとか、目隠しをするとかしないと選べてしまいますね。
数学の問題では、このあたりは「無作為に」といった表現で表すことも多いです。

回答No.1

alice_44

丸まっているのを選んで取り出せば、５匹ともダンゴムシである確率が１００％。
…いや、冗談じゃなく。
確率の計算をする際に、一番最初にしなくてはならないのが、基礎確率分布の確認。
確率の無い所から、魔法で確率を作り出すことはできないので、
前提として与えられた確率分布から、他の確率や期待値を派生させてゆくことになる。
質問の例の場合、ケースの中の４０匹それぞれを取り出す確率が皆等しいか？を
確認することから、全てが始まる。