数学Aの確率の問題 考え方

質問

こんにちは。高1男子です。
数学Aの確率の問題です。

1個のさいころを5回投げるとき、素数の目がちょうど4回以上出る確率を求めるという問題です。

解答は、素数が4回の時の確率と、4回以上の時の確率を足しています。

5C4×（3/6）＾5×（6/6）はどうしていけないのでしょうか？
6/6というのは1～6のすべての数字の出る確率です。そうすれば、5回目に素数が出る時も出ないときも両方一気に考えられると思ったのですが、どうなのでしょうか？

数学が苦手なので、できるだけわかりやすく教えていただけると幸いです。
ご回答よろしくお願いします。

回答No.4

naniwacchi · ベストアンサー

#3です。

＞この問題では、4回か5回という意味であり、4回目までに4回素数が出ていれば、
＞その時点で「4回」という条件はクリアし、
＞あとは「5回素数が出る」のほうを考えればよいのではないでしょうか？

では、4回目までに素数が 3回しか出ていないときは、どう考えますか？
その事象が漏れていることになりますが。
「課されたノルマをクリアすること」と「試行の結果」は違いますよね。

先の (4, 2, 3, 3, 5)は、まさにこの例を示しています。

＞4回と5回を別々に考えると、それぞれの確率は たすことになりますが、5C4×（3/6）^5×（6/6）とやれば、
＞たとえば、（5,3,2,2,＠）と なったとき、、すでに素数は4回出ているので
＞（6/6は1～6の数を 表すから）＠が素数でないとしたら「素数は4回」、
＞＠が素数ならば 「素数は5回」ということになり、確率は求められるのではないか、と思いました。

先の回答でも書いていますが、この式だと 6回振っていることになりますよ・・・
5C4*(3/6)^5は「5回目までに素数が 4回出る」確率となり、
(6/6)は「どの目が出てもよい」確率ということになります。

回答No.3

naniwacchi

こんばんわ。

＞5C4×（3/6）＾5×（6/6）はどうしていけないのでしょうか？
この式が、どのような事象を考えているかをみてみると
1) 5回目までに、4回素数の目が出て、
2) 6回目に、どの目が出てもよい

という「計 6回の試行」を考えていることになります。

＞6/6というのは1～6のすべての数字の出る確率です。
＞そうすれば、5回目に素数が出る時も出ないときも
＞両方一気に考えられると思ったのですが、どうなのでしょうか？
いまの問題は、「5回目はなんでもよい」というものではなく、
「5回目までに 4回以上素数の目が出る」という問題です。

具体的に言えば (2, 3, 3, 5, 6)や (5, 3, 2, 3, 1)のような出方だけでなく、
(4, 2, 3, 3, 5)（5回目以外に素数でない目が出る）
といった出方も許されるはずということです。

最後はどっちでもいいと考えることができる例としては、次のようなものです。
「日本シリーズのように先に 4勝したチームが優勝となるゲームで、
7戦目までもつれる確率は？」
6戦目まで 3勝3敗で、7戦目はどちらが勝っても優勝が決まると考えることができます。

最後の一つ手前までの試行結果が確定している条件（上の日本シリーズ）であれば、
「最後はどちらでもよい」とできますが、
いまの問題では 4回目での試行結果は確定していない（＝素数の目が 3回であっても 4回であっても構わない）ことになるので、質問のように考えることはできません。

うまく伝われば、幸いです。＾＾；

補足

親切なご回答ありがとうございます。
わからないところがありますので、補足させていただきます。ご回答よろしくお願いいたします。

＞いまの問題は、「5回目はなんでもよい」というものではなく、「5回目までに 4回以上素数の目が出る」という問題です。

とありましたが、4回以上というのは、この問題では、4回か5回という意味であり、4回目までに4回素数が出ていれば、その時点で「4回」という条件はクリアし、あとは「5回素数が出る」のほうを考えればよいのではないでしょうか？

4回と5回を別々に考えると、それぞれの確率は たすことになりますが、5C4×（3/6）^5×（6/6）とやれば、たとえば、（5,3,2,2,＠）となったとき、、すでに素数は4回出ているので、（6/6は1～6の数を表すから）＠が素数でないとしたら「素数は4回」、＠が素数ならば「素数は5回」ということになり、確率は求められるのではないか、と思いました。

でも、答えが合わないので間違っています。どこが違っているのかわからないので教えていただきたいと思います。よろしくお願いします。

回答No.2

micam

一番前の5C4の意味を考えましょう。
5回のうち4回だけ3/6という意味ですよね?
これは同じものだから順列Pではなく組み合わせCを使っているのです。
5C4は5!/4!です。
組み合わせは順列を割っていますし、単純に考えても組み合わせの方が少ないのは分かりますよね?

つまり同じものがあるということは割らなくてはいけないので、5つとも一緒ならさらに5で割る必要がでてきます。

なので結局別に考えなくてはいけません。

説明下手ですいません(*_*)

回答No.1

noname#157574

素数の目は2，3，5の3種類であるから、1回投げたとき素数の目が出る確率は3/6=1/2
素数が4回だけ出る確率は₅C₄(1/2)⁴(1/2)=5/32、5回とも出る確率は(1/2)⁵=1/32
よって求める確率は(5/32)+(1/32)=6/32=3/16

補足

ご回答ありがとうございます。補足させていただきます。

4回と5回を別々に考えると、それぞれの確率は たすことになりますが、5C4×（3/6）^5×（6/6）とやれば、たとえば、（5,3,2,2,＠）となったとしたら、すでに素数は4回出ているので、（6/6は1～6の数を表すから）＠が素数でないとしたら「素数は4回」、＠が素数ならば「素数は5回」ということになり、確率は求と考えましたが、どこが違っているのかわからないので教えていただきたいです。

ご回答よろしくお願いします。