確率の問題

質問

最近、携帯ＭＰ３プレーヤーなるものを購入したのですが、こんな問題を思いつきました。

『問題』
　あるＣＤに、以下の１１曲が入っており、これをランダムに連続再生するとします。
・演奏時間１分の曲が１０曲
・演奏時間１０分の曲が１曲
　任意の時刻ｔに演奏時間１０分の曲が演奏されている確率は如何。

　これはどう解けばよいのでしょう。もともと確率は苦手だったうえ、数学を離れて久しいこともあり、さっぱり思いつきません。
　お暇がありましたら、お教え下さい。

回答No.6

pancho · ベストアンサー

＃３の者です。

質問が「ランダムに連続再生」となっているので、任意の時刻での確率は、やはり１／２と解釈するのが適当です。

しかし、＃５の「kony0」さん指摘する
　(A) t=0に演奏を開始する
　(B) 演奏は完全にランダムではなく、１回のサイクル（２０分）中で１１曲が必ず１度演奏される
という条件をつければ、確かに確率の波が起こります。

　１分目： 1/11
　２分目： 2/11
・・・・・
　９分目： 9/11
１０分目：10/11
１１分目：10/11
１２分目： 9/11
・・・・・
２０分目： 1/11　　　です。

これは、２０分目から１分目にまたいだ演奏が起こらないからなのですが、
　・(A)の仮定をしなければ、この境目が任意の時刻に置かれるため、元々の確率1/2のままでよい。
　・(B)の仮定をしなければ、最初のうちは確率の波が起こるが、徐々に確率1/2に収束していく。
となります。

詳しい計算は、ここで披露するのにスペースが足りません。

以上。

お礼

再び、ありがとうございます。

なるほど、私の想定したのは(A)を仮定したものでした。
シミュレートしてみましたが、なるほど、ｔが十分大きい場合にのみ成立しますね。

参考までに、

#include <math.h>
#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <time.h>
int play(int);
int main(int argc,char** argv){
double c,r,t;
srand((unsigned)time(NULL));
t=atof(argv[1]);
for(r=0;r<(int)pow(2,16);r++){
c += play(t);
printf("%f\n",c/r);}
};
int play(int t){
unsigned char l[128]={0};
int r;
for(r=0;r<8*128;r++){
if((rand()%1100+1)>100){
l[(int)(floor(r/8))]+=(int)pow(2,(r%8));}
else{r += 9;}};
return ((l[(int)(floor(t/8))]>>(t%8))%2);
};

回答No.5

kony0

11曲のランダムな曲順の順列がいくつも連なる、「通常の」連続再生の場合は、そんなに単純に行かないのではないかと思われます。（tを20で割った余りt'によって場合わけが必要では？）

任意の正実数tに対し、t'を、t=20n+t', nは正数、0<=t'<20とおく。

0<t'<1では、11曲の曲順のうちの1曲目に10分の曲が来る必要があるので確率1/11
1<t'<2では、11曲の曲順のうちの1曲目or2曲目に10分の曲が来る必要があるので確率2/11
・・・
という感じになりませんかねぇ？

補足

回答ありがとうございます。

解決したと思ったのに、また分からなくなってしまいました。

私は「シャッフル再生(20分間に必ず全ての曲が演奏される)」ではなく、「ランダム再生(同じ曲が連続して演奏されることもある)」を想定していたのですが、この場合でも、t=0 付近が特異点になってしまうような気がしてきました。
＃４さんの言う円盤式の抽選は、いわば t<0 もありえる状況であり、この場合は当てはまらないということになるのでしょうか。
また、「シャッフル再生」の場合、おっしゃるとおり、mod 20 で場合わけが必要なのかもしれません。

やはり、確率はわかりません(泣

回答No.4

ymmasayan

No.1のymmasayanです。

＞要は累積演奏時間を求めれば良いのだから、短い曲チームには確率１０／１１で１点、
＞長い曲チームには確率１／１１で１０点が与えられるゲーム、と同視できるのではないか、
＞ということです。
＞　こういう考えで良いのでしょうか。

そういう考え方でもいいと思います。
あと宝くじや年賀ハガキの抽選を考えてもいいと思います。
円盤の半分を１０分分、残りを１０等分して１分ずつ色分け、回転させて、
遠くから矢を射たときの矢の当たる確率がこの問題の答えです。

お礼

たびたび、すみません。

この考えであってるのですね。良かった。
少し数学の勘を取り戻した感じです。

回答No.3

pancho

前２者の回答では完全に納得することができないようなので、別の考え方を書きます。

・１０分の曲を１分づつの１０曲に分けてみます。すると、全体は「演奏時間が１分の曲が２０曲」と見なせます。
　（ここまでは大丈夫ですか？）

・任意の時刻にはこの２０曲の内、１曲が演奏されています。

・全ての曲は同じ演奏時間なので、全て等しい確率で選択されます。つまり、確率１／２０で演奏されています。

・元々１分の曲は１０曲ですので、１／２０×１０＝１／２となり、１／２の確率で１分の曲がかかっていることになります。

・反対に、残りの１／２の確率で１０分の曲を分割したどれかのパートがかかっていますので、結局１０分の曲がかかっている確率は１／２となります。

以上。

補足

回答ありがとうございます。

>全体は「演奏時間が１分の曲が２０曲」と見なせます。
　う～ん、でもこの場合、「分割による１分の曲」は常に１０曲連続して出現するのだから、「元から１分の曲」と同視してよいのかが不安です。
>全ての曲は同じ演奏時間なので、全て等しい確率で選択されます。つまり、確率１／２０で演奏されています。
　そして、選曲自体は１／１１なのに、なぜ１／２０になるのか。直感的にはちょっと分かりません。

　さっき思いついたのは、要は累積演奏時間を求めれば良いのだから、短い曲チームには確率１０／１１で１点、長い曲チームには確率１／１１で１０点が与えられるゲーム、と同視できるのではないか、ということです。
　こういう考えで良いのでしょうか。

回答No.2

tetorin

間違ってたらすいません。
全部の演奏時間が２０分なのでその２０分の中で１０分の曲が演奏されている確率は２分の１ではないでしょうか？
最初はもっと深く考えないといけないかと思ったのですが、これでも問題ないように思えますので。

お礼

回答ありがとうございます。

なるほど、全体で２０分ですね。納得です。

とはいえ、確率の問題は、納得しても、実は間違いという確率も高いので、もう少し、締め切りは待ってみます。

回答No.1

ymmasayan

これは単純に０．５でしょう。
演奏される順序が任意に決まったとして、任意の時刻を∞回試行すると
半分は１０分の曲にぶつかりますね。

お礼

回答ありがとうございます。

言われてみると、そう、当たり前のような気がしてきました（汗