確率の問題を解いていただけますか？

質問

あなたを含めた３人の死刑囚がいます。
１から100までの数字の中で、２番目に大きい数を書いた人だけが
生き残れます。

そこで２つの質問です。
１．何番を書くのがもっとも勝ちやすいでしょうか？

２．死刑囚が３名ではなく、１００名いた場合。かつ一番大きな数を書いた者が゛１名だけ該当”時のみ、その者が助かるとする。（例えば９９という数字を書いた者が２名の場合、どちらとも助からない。投票された数字のうち、もっとも数値が大きく、かつ該当者が一名の時のみ、その人物が助かる）その場合は、何番を書くのもっとも勝ちやすいでしょうか？

可能であれば、それぞれ数式を出して、数学が苦手な私にも分かりやすいように教えてください。もしかしたら確率で出すことができないかもしれませんが、宜しくお願いします。
ちなみに私は高校レベルの数学なら、なんとか思い出してがんばります。

回答No.4

cametan_42 · ベストアンサー

面白いんですがね～～。

多分、「確率の問題」じゃないような気がします。「最適化戦略」の問題じゃないか、と。
今、手元にその手の本が見つからないんで……まあ、ちょっと概要だけ。1番をテーマに。
前提がいくつか不明瞭なんですが、一応、「3人とも」合理的判断を持つ、って前提にします。
かつ、問題読む限り、「3人とも違う数を書かなければならない」ってわけじゃないでしょう?つまり、問題提示の状況から考えると、3人が3人とも「100を書く」事が可能ですよね?
そうすると……。1から100までの数がある、って事は最大の数は100、ですよね。そして「2番目に大きい数を書いたヤツ」だけが生き残る、と。
そうすると「合理的判断を持つ」以上、3人とも「100を書く」って事は「あり得ない」って事になりますよね。従って、3人が3人とも「100よりは99を書く」事を選ぶ、って事になります。
次に、状況的に言うと、3人が3人とも「99を書く」ってのは当然予想の範疇なんで、そうすると「99も書けない」って事になりますよね?そうすると3人が3人とも「98を書く」のが無難だ、って話になります。
次に……と順に考えていくとどうなるでしょうか???多分問題としてはそれがテーマなんで、「確率」じゃないんですよ。恐らく。

んで、多分この手の事が明解に書かれた本と言うと……恐らく、日本での第一人者は松原望先生じゃないですかね?松原先生の本が恐らく一番詳しく(かつ易しく)解説してくれているんじゃないのかな、と思います。

松原望先生のサイト:
http://www.qmss.jp/portal/

で、多分次の本を参照すれば良いのでは、と。

意思決定の基礎:
http://www.qmss.jp/qmss/related/decision01.htm

と言う事です。

お礼

ご回答ありがとうございます。
なるほど勉強してみます。

回答No.6

pochy1

#1です。

> よって自分が２番目になる確率＝（１００－Ｘ）／１００×（Ｘ－１）／１００Ｘ２

ここまでは正解です。さらに進めると、
自分が２番目になる確率＝(100-X)(X-1)/5000=(-X^2+101X-100)/5000

カッコ内の２次関数が最大値をとるのはどんな時ですか？という問題になりました。あと一息です。
ここでもわからなければ、「平方完成」を理解していないことになります。
「平方完成」で検索してみれば、解き方が出てくるかもしれません。グラフを書いてみてもＯＫです。
こうやってみて気づきましたが、確率が最大になるＸは二つありますね。(^^;;

補足

pochy1さん、返答が遅れて大変申し訳ございません。

ただいまのところ、平方完成が理解出来ていないままです。
たとえ私の回答が遅くとも、見捨てないようにお願い致します（笑）

回答No.5

pochy1

#1です。答えを教えてください、はダメです。なので、もう少しヒント。
他の死刑囚が、自身の生存がかかっているとも知らずに、無作為に数字を書くという前提で。

１）
こういう問題と考えれば解きやすくなります。
死刑囚Ａ、Ｂが、それぞれ無作為に１～１００までの整数を書き、
自分が書く数字がxである場合、
　a.Ａが自分より大きい数を書く確率は？
　b.Ｂが自分より小さい数を書く確率は？
両方を満たせば、自分が２番目になります。この逆（Ａが自分より小さい数を書き、
Ｂが自分より大きい数を書く）の時も自分は２番目になるので、２番目になる確率は
　（aの答え）*（bの答え）
の２倍になります。これはxの２次関数になるので、平方完成すれば答えが出ます。

２）
自分は勝つ条件は、
　c.残る99人が自分以外の数を書く
　d.残る99人が自分以下の数を書くか、自分以上の数を書いても複数の人がいる
の両方を満たす時です。cは自分がどの数字を書いても一定の確率になります。
dの条件を考えなくてもいい数が一つだけあるので、条件が一つだけでいい
数字が当然勝つ確率が最大になります。

補足

おそらく間違っているとは思いますが、自分なりに考えた結果を書きます。

自分が書く数字がxである場合、
Ａが自分より大きい数を書く、組み合わせの数は１００－Ｘ通り
Ｂが自分より小さい数を書く、組み合わせの数はＸ－１通り
なので、Ａが自分より大きい数を書く確率は１００－Ｘ／１００
Ｂが自分より小さい数を書く確率はＸ－１／１００

よって自分が２番目になる確率＝（１００－Ｘ）／１００×（Ｘ－１）／１００Ｘ２

・・・・ここまでしか分りません。この後、どうしたらいいんでしょう。
いろいろと高校の頃の参考書を見ましたが、分かりません。
教えてくださいお願い致します。

回答No.3

t932

ほかの人がどう行動するかという要素が入るので数学の問題ではないと思い
ます。
１のほうの問題では、　あとの２人が全く無作為に数字を書くと仮定するなら、
真中の数字　５０か５１を書くのがたぶん正解でしょう。無作為でないなら人
情として真中あたりの数字を書きたくなるので３人とも５０か５１を選んで
誰も助からないということになりそうな気がします。

お礼

ご回答ありがとうございます。
参考になりました。

回答No.2

eroermine

確率のもんだいではないと思いますよ。
各自が百面のサイコロをふって云々ならともかく。

お礼

ご回答ありがとうございます。

回答No.1

pochy1

ヒントだけ。
１
xが２番目となる確率を考えましょう。
同率２位を認めるかどうかで確率は微妙に変わりますが、
１人がxより大きく、かつもう１人がxより小さい確率を求めましょう。
xの２次関数になるはずです。

２
誰もその数を書かない確率だけ考えればいい数字と、その確率に
加えてそれより大きい数字を書かれても複数である確率を考えないと
いけない数字とありますよね。どっちが確率が高いかということです。

お礼

ヒントを参照し、私なりの頭で３日考えましたが、分かりません。

pochy1さんのおっしゃる通り、この質問に答えがあるとしたら、
……どうぞお願い致します。教えてください。