畳み込み積分とインパルス応答

質問

畳み込み積分とインパルス応答

畳み込み積分 「∫　f(t-τ) g(τ)　dτ」において、
g(τ)＝dx(τ)/dτ　はインパルス応答である・・・という部分が分かりません。
x(τ)はステップ応答ですよね？
（入力前の信号に視点を戻して）τ範囲を縮めていくと、ステップ信号→インパルス信号の様になりそうですが、

インパルス信号→τ＝０において∞の値をとり、∞（値）×１／∞（幅）＝１
ステップ信号　→τが０以上の範囲において、常に１という値をキープ
　　　　　　　　→τの幅をいくら縮めても、値は１であり、インパルスの様に∞にはならない

であるので、ステップの幅を縮めても、インパルスにはならない様に思うんです。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

g(τ)＝dx(τ)/dτ
右辺は、x(τ)をτで微分、という意味ですね。
ステップ応答を微分すると、τ=0以外の点では、x(τ)は一定値ですから、微分すると０です。
τ=0のところで不連続なんで、微分すると∞になりますが、
（厳密な議論を省略して感覚的な話をすれば）
不連続なジャンプの高さが１なので、∞（値）×１／∞（幅）＝１になるような∞になります。

お礼

回答ありがとうございます。

微分は傾きでした・・・
自分はなんてアホなんでしょう。
形に捕われて、根本的な原則を忘れてました。

回答No.3

goldenleaf

微分は幅を縮めてるんじゃないですよー。変化量ですよー。
連続性など厳密な議論はさておいて、多少感覚的にx(τ)の変化量を考えてみましょう。
τ=0　付近で考えると、一瞬で（無限小の時間で） x(τ)は0から1に変化するわけです。つまり、

dx(τ)/dτ = lim(Δτ→0){( x(0) - x(0-Δτ) )/Δτ}　　　（但しτ=0）
　= ∞

そのほかのτについては変化量は0ですから

dx(τ)/dτ = 0　　　（但しτ≠0）

ですね。インパルスになってませんか?

余談ですが工学分野では無限大に飛んで貰っては不便なので、大体の場合
δ(τ) = 1　　（但しτ=0）
δ(τ) = 0　　（但しτ≠0）
としていたりしますけど。

お礼

回答ありがとうございます。

お恥ずかしいばかりです。
直感的に捉えようとし過ぎて、原則をスッポ抜いてました。
同じ土俵で比べようとしていたのですが、全くの別物なんですね。

回答No.2

moumougoo

I = ∫f(t) x(t-a)dt (-∞≦t≦∞で積分）
= ∫f(t) dt (a≦t≦∞で積分）

dI/daを計算すると
1行目で積分の中を微分して
dI/da = -∫f(t) g(t-a)dt
2行目を微分して
dI/da = -f(a)
なので、g(t) はデルタ関数と考えると都合がよい、

という感じですがいかがでしょうか？

お礼

回答ありがとうございます。

そういう捉え方もありますね。なるほど。