制御工学 ステップ応答 インパルス応答

質問

インパルス応答を積分するとステップ応答になる・・・
このように本には書かれていたのですが
ここがいまいち理解できません
ラプラス変換したインパルス入力U(s)は 1　
ステップ入力U(s)は 1/s　となり
これはインパルス入力を1/s倍したものがステップ入力
となっているわけですが
t領域:インパルス応答を積分→ステップ応答
s領域:インパルス応答を1/s倍→ステップ応答
こんな感じでいいのでしょうか？
なんとなくで理解してるため正確なことがよくわかりません
詳しい方解説お願いします

回答No.2

foobar · ベストアンサー

時間領域で考えると、
任意の入力f(t)はδ関数の集まり ∫f(t-x)δ(x)dx で表すことができます
で、システムが線形なので、f(t)による出力はδ関数入力に対する出力(インパルス応答）I(t)の積分で表すことができ、y(t)=∫f(t-x)I(x)dxになります。
ステップ入力のときはf(t)=1なので、y(t)はインパルス応答の積分になります。、

回答No.3

carvelo

No.1です。
今までミスに気づいてなかった・・・。

L^(-1)[∫{0→t}f(τ)dτ]=(1/s)L^(-1)[f(t)]

逆ラプラス変換なわけないですね。
正しくは

L[∫{0→t}f(τ)dτ]=(1/s)L[f(t)]

回答No.1

carvelo

ラプラス変換を復習しておいてください。

ラプラス変換を復習した上で…
ラプラス変換をL、逆変換をL^(-1)で表すとします
伝達関数をG(s)、入力をu(t)（そのラプラス変換をU(s)）、出力y(t)（そのラプラス変換をY(s)）とすると
Y(s)=G(s)U(s)
ですから、U(s)=1のとき（つまり、インパルス応答のとき）
y(t)=L^(-1)[G(s)]
U(s)=1/sのとき（つまり、ステップ応答のとき）
y(t)=L^(-1)[G(s)*(1/s)]
となります。
即ち
・インパルス入力のとき応答は、ラプラス変換したらG(s)になるような関数
・ステップ入力のとき応答は、ラプラス変換したらG(s)*(1/s)になるような関数
ですね。
さて、ラプラス変換を復習してもらったら、
L^(-1)[∫{0→t}f(τ)dτ]=(1/s)L^(-1)[f(t)]
って性質があります。これらからステップ応答はインパルス応答を積分したものだ、と言えるわけです。
ちなみに、理屈が分かれば、ステップ応答を積分したらランプ入力（入力がu(t)=t、U(s)=1/(s^2)）のときの応答が、ランプ応答を積分したら入力がu(t)=t^2/2のとき（一定加速度入力）の応答が…と言えますね。