インパルス応答の求め方

質問

状態方程式を用いて、質量-ダンパ系のインパルス応答を求めようとしているのですが、以下の積分方法が分かりません。

δ(t)をインパルス入力として、
∫[0,t]{(1/D){1-exp[-(D/M)*(t-τ)]}δ(τ)}dτ
D:粘性減衰係数、M：質量

回答よろしくお願いします。

回答No.2

inara · ベストアンサー

δ(τ) = lim_[h→0] f(τ)
f(τ) = 1/h ( 0≦τ≦h ), f(τ) = 0 ( h < τ )
ですから、まず δ(τ) の代わりに f(τ) とおいて、積分後に h→0 とすれば良いと思います。

実際計算してみると、 δ(τ) の代わりに f(τ) とおいた場合、定積分は
　　　∫[0,t]{(1/D){1-exp[-(D/M)*(t-τ)]}f(τ)}dτ
　　　= [ 1 - M/D*exp( -D*t/M )*{ exp( D*h/M ) - 1 }/h ]/D --- (1)
となります。h→0 のとき { exp( D*h/M ) - 1 }/h は 0/0 なので、ロピタルの定理
　　　lim_[h→0] F(h)/G(h) = lim_[h→0] F'(h)/G'(h)
を使えば
　　　lim_[h→0] { exp( D*h/M ) - 1 }/h = D/M
したがって式 (1) は h →0 のとき
　　　式(1) → { 1 - M/D*exp( -D*t/M )*D/M }/D
　　　　　　　= { 1 - exp( -D*t/M ) }/D --- (2)

一方、g(τ) = (1/D){1-exp[-(D/M)*(t-τ)] とすれば、g(0) = (1/D){1-exp[-(D/M)*t ] } となって、式 (2) と全く同じですから、foobar さんのご指摘通り、∫g(τ)δ(τ)dτ = g(0) が成り立っています。

お礼

想像していた以上に計算量が多いのですね。
丁寧な解説ありがとうございました。

回答No.1

foobar

デルタ関数の性質
∫g(τ)δ(τ)dτ=g(0)を使えば求まるかと思います。
(g(τ)=f(t-τ) とおいて計算すれば、求まりそうな。)

お礼

早々に回答いただきありがとうございました。