倍数算について質問です

質問

倍数算について質問です

以下の問題を見たうえで、以下のＨＰ（問題の解説が掲載されている）を見て僕の質問に答えてください。

問題:太郎君と次郎君の2人の所持金の比は2：1でしたが2人とも50円使ったので，太郎君と次郎君の残金の比は3：1になりました。初めに太郎君が持っていたお金は何円ですか。

HP:http://www.manabinoba.com/index.cfm/4,5086,73,html?year=2004

質問：2:1（50円使う前）と3:1（50円使った後）について、この２つの比の差を公倍数に統一することにより使う前と後の比1に対応する金額統一することができますが、その原理の認識について正しいかどうか判定してください。

　認識:この２つの比の差を公倍数に統一する際、その過程の１つに５０円を使う前の比の差1に２を掛けるが、これは比１に対応する値を２分割することによって、使う前と後の比１に対応する金額を統一している。
　たとえば、2:1＝200円:100円　だとすると、この比の差1＝100円を２分割して50円にしている。つまり、公倍数に統一する際に各比の項に掛けるという行為＝比を掛けたその和の分だけ分割している。これは、比１に対応する値について、掛けた数の分だけ分割しているともいえる。
　上記の問題を例にあげると。1×2＝2で１００円を２分割している（比１に対応する金額を掛けた数の分だけ分割している）。
　よって比１に対応する金額は５０円となり、５０円を使った後の比１に対応する金額と統一されたのだ。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

相変わらず、考えちゃってますね。
認識とか、原理とか、行為とか、そういったものを捨て去って、
記号操作だけで正解に至るために、代数はあるのです。
哲学と数学は、相容れないことが多いものです。

この問題でも、
太郎君の使用前 : 次郎君の使用前 : 二人の差額 = 2 : 1 : 2-1 と
二人の差額 : 太郎君の使用後 : 次郎君の使用後 = 3-1 : 3 : 1 という
二つの連比を結合するために、
「比」の定義より、
太郎君の使用前 : 次郎君の使用前 : 二人の差額 = 2x : x : x,
二人の差額 : 太郎君の使用後 : 次郎君の使用後 = 2y : 3y : y
(ただし x≠0, y≠0) と変形して、
共通項である「二人の差額」が共通の値となるように
x = 2y と置けばよいだけです。
太郎君の使用前 : 次郎君の使用前 : 二人の差額 : 太郎君の使用後 : 次郎君の使用後
= 4y : 2y : 2y : 3y : y と判ります。
太郎君の使用前 : 太郎君の使用後 = 4 : 3 であることも解りますね。

ここまで、解釈を気にせず、式変形だけで付いてこれたでしょうか？

後は、太郎君の使用前 : (太郎君の使用前 - 50円) = 4 : 3 から
内項の積 = 外項の積 という式を作って、一次方程式を解けばよい。
最後まで、式変形だけです。

式やその部分式の意味を考えるのは、式を立てるときだけ。
方程式から解を得る過程では、意味に引きずられてはいけない
…というのが、前回質問のときから、貴方に伝えたいことなのです。

回答No.1

178-tall

ＨＰを覗いてみましたが、「２つの比の差を公倍数に統一する」の意味が不明。

両人の所持金の初期値合計を T とし、太郎の持分が aT なら、次郎のは (1-a)T 。
両人が同額 C を使ったあとの残金比が r ならば、
　(aT - C)/{(1-a)T - C} = r
これから T を求めると、
　T = C*(r-1)/{r(1-a) - a}
つまり、
　T/C = (r-1)/{r(1-a) - a}

例題では、a = 2/3, r = 3/1 なので、
　T/C = 2/{3*1/3 - 2/3} = 2/(1/3) = 6
…として、「初期値 T を 6 分割した値が C になる」ということでしょうか？