最小公倍数の問題…

質問

２つの自然数　X、Y　(X<Y)を求めよ。
差が18、最小公倍数216

上の問題が分かりません><
よろしくお願いします!!

回答No.4

wild_kit · ベストアンサー

最小公倍数が２１６で差が１８なので、少なくとも２１６＞＝Ｙ＞＝１９であることが分かります。
（Ｙ＜＝１８だとＸ＜＝０となり、前提と合わないため）

最小公倍数２１６＝２＾３・３＾３であるから、Ｙは２＾０・３＾０～２＾３・３＾３の組み合わせの中にあります。
添付画像のようになりますから、２１６，１０８，７２，５４，３６，２７，２４が候補になります。

ところで最小公倍数が２＾３・３＾３であることから、Ｘ，Ｙどちらかが２＾３または３＾３を含んでいなければなりません。
Ｙ＝２４では、Ｘは３＾３を含んだ自然数なので前提（Ｘ＜Ｙ）に合わず不適。
Ｙ＝２７では、Ｘは８の倍数で無ければなりませんが、Ｘ＝２７－１８＝９なので不適。
Ｙ＝３６では、Ｘは２＾３と３＾３の両方を含んでいることになるので前提（Ｘ＜Ｙ）に合わず不適。
Ｙ＝５４では、Ｘは８の倍数で無ければならないが、Ｘ＝５４－１８＝３６なので不適。
Ｙ＝７２では、Ｘは２７の倍数で無ければならないが、Ｘ＝７２－１８＝５４＝２７・２なので適している。
Ｙ＝１０８では、Ｘは８の倍数で無ければならないが、Ｘ＝１０８－１８＝９０で不適。
Ｙ＝２１６では、Ｘ＝２１６－１８＝１９８＝９９・２なので不適。

ということなので、Ｘ＝５４、Ｙ＝７２が求まります。

回答No.5

stomachman

自然数X,Yについて、Y-X=18で、X,Yの最小公倍数が216。
　216と18の最大公約数は18だから、X,Yの最大公約数はこれと同じ18。そこで
　　x=X/18
　　y=Y/18
とおくと、x,yは自然数。しかもx,yは互いに素であり、x,yの最小公倍数が(216/18=)12、つまり
　　xy=12
である。
　12の約数y∈{1,2,3,4,6,12}について、xy=12を満たす対<x, y>を並べると
　　<x, y> ∈{<1,12>, <2,6>, <3,4>}
　一方、
　　y-x = (Y-X)/18 = 18/18 = 1
である。これを満たす対は
　　<x, y> = <3,4>
しかない。つまり
　　<X, Y> = 18<3,4> = <54, 72>

回答No.3

bgm38489

式を書いて求めるとなったら難しいが、見当をつけて求めていくと、
Ｘ、Ｙのいずれも、最小公倍数216の約数だから、
216/2=108について、108+18=126,108-18=90。このいずれも、108との最小公倍数は216でないのでアウト。
216/3=72について、72+18=90,72-18=54。54は72との最小公倍数が216だからＯＫ。
（以下省略）　
Ｘ＜Ｙより、Ｘ＝54，Ｙ＝72
てなところでしょうか。
２で割って±１８、３で割って±１８…としていけばよい。

回答No.2

nspopo

9
27

回答No.1

noname#153085

何かが間違っていませんか・・・？

Y-X=１８
XY=２１６

ですよね？

もしX=８　Y=２６　だと　最小公倍数は２０８
もしX=９　Y=２７　だと　最小公倍数は２４３

になるので、そのような自然数が見当たらないのですが；