数学Ⅱの最大公約数・最小公倍数

質問

x^3-4x^2+3x
6x^4-15x^3-9x^2
の最大公約数と最小公倍数を求めよ

という問題は因数分解した後、どのように最大公約数、最小公倍数を考えたら良いのでしょうか？
まずどう考えたら最大公約数がx(x-3)となるのでしょうか？
最小公倍数も
x^2(x-1)(x-3)(2x+1)
となる理由がわかりません…。
x^2はどう考えたら出てくるのでしょうか？

よろしくお願いしますm(__)m

回答No.3

Willyt · ベストアンサー

>まず、cってなんですか？

　いけない(^_^;)　ミスプリでした。Ｇc が最大公約数です。

　これでもダメ？　たとえば　１８と１２の最大公約数は
１８＝３×３×２
１２＝３×２×２
　ですから共通因数は２と３になりますだからＧc＝２×３＝６ですね。
　するとＬＣＭ＝Ｇc・ａ・ｂ＝３×６×２＝３２になりますね。
これは数ですが数式でも全く同じです。

お礼

わかりました。
ありがとうございましたm(__)m

回答No.2

FGLPQR

まず、xが整数であると仮定します。
二つの式を因数分解します。
x^3-4x^2+3x = x(x^2-4x+3) = x(x-1)(x-3)
6x^4-15x^3-9x^2 = 3x^2(2x^2-5x-3) = 3x^2(x-3)(2x+1)

公約数とは、それぞれの数字（この場合は文字式）において、共通な因数を表します。
最大公約数は公約数の中でも最大のものを表します。（例えば、12と8の公約数は1,2,4となります。この中で最大となる4が最大公約数です。）
さて、それぞれの式を見てみると、
上式はx*(x-1)*(x-3)
下式は3*x^2*(x-3)*(2x+1)
です。
そのため、共通な因数は、1,x,(x-3),x(x-3)となります。
よって最大公約数はx(x-3)です。

また、公倍数ですが、これは各数字（文字式）を整数倍して同じ数になるものを差します。公倍数の中で最も小さい数を最小公倍数と言います。
（例：12と8の公倍数は24,48,72,96,・・・、最小公倍数は24）

さて、上下の式を同じ数にするには、上式に3*x*(2x+1)を、下式にx-1をかければ良さそうです。
以上から、最小公倍数は
3x^2(x-1)(x-3)(2x+1)
となります。
もしかしたらxの場合分けによって、3がなくなる可能性もあります。
もう一度答えを参照してみてください。

お礼

どう考えたら共通因数の1とx(x-3)が出てくるのでしょうか？

回答No.1

Willyt

それぞれの数式をＡ、Ｂとしましょう。因数分解すると
Ａ＝ａ・Ｇc 但しＧは最大公約数です。
Ｂ＝ｂ・Ｇc
ここでＧc は最も大きくなるように選びますからＡ、Ｂの共通因数をすべて掛け合わせたものになりますね。a、bはそれぞれその残りの因数を掛け合わせたものです。
そうすると最小公倍数はa・b・Ｇc になることは自明ですよね。これに従って計算して見て下さい。

お礼

おっしゃっていることが理解できません。
まず、cってなんですか？
Gcは最も大きくなるように選ぶからA,Bの共通因数をすべて掛け合わせたものとのことですが、なんでそうなるのですか？

この2点が理解できません。

申し訳ありません(´｀）