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速さの変わる運動についての問題とその解答方法
- この質問は速さの変わる運動に関する問題であり、その解答方法を説明します。
- 図を用いて時間と速さの関係を表し、問題の内容を分かりやすく説明しています。
- 問題の解答において、平均の速さの計算方法についても解説されています。
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こんにちは。 理系のおっさんです。 ＞＞＞私が分からない所はなぜ平均の速さが10m/秒になるのかです。 疑問を持つのは、もっともです。 よく、「速さと時間との間に比例関係があるから」という説明もされますが、それもちゃんとした説明になっていません。説明の説明が必要になってしまいます。 私も高校生のときですらわかりませんでした。 なんで、直角三角形の面積が距離になるのか？ と。 このことは、実は、高校の２年と３年で習う微分（びぶん）と積分（せきぶん）の考え方を知っていれば、超簡単です。 ところが、高校物理では微積分を使うのは反則です。（なんでだろう？） つまり、物理に微積分が役立つことを知ったのは、大学に入ってからです（ちなみに、私はそこそこ難関の大学の出身者です）。 まず、速さと進行距離の関係を考えましょう。 速さは一定ではないので、時刻がｔからｔ＋Δｔまで変わるまでの一瞬に、進行距離がｘからΔｘまで増えたとしましょう。 （Δは「デルタ」と読みます。ものすごく小さい、ほんのちょっと、という意味です。） すると、その一瞬における瞬間速度ｖは、Δｘ÷Δｔ です。 わかりますよね？ ｖ ＝ Δｘ／Δｔ Δをさらに小さくして、無限に小さいと考えるとき、Δではなくｄと書く習慣があります。 ｖ ＝ ｄｘ／ｄｔ ・・・（あ） この問題では、速さと時間の間に比例関係があるので、 速さ ＝ 比例定数 × 時間 と書けますよね？ 記号で書けば、 ｖ ＝ ａｔ ・・・（い） です。 ａのことを「加速度」と言います。 （あ）と（い）の右辺同士を合体すると、 ｄｘ／ｄｔ ＝ ａｔ となります。 これを「積分」します。 ｄｘ／ｄｔ ＝ ａｔ ｄｘ ＝ ａｔｄｔ ∫１ｄｘ ＝ ∫ａｔｄｔ ａは定数なので、 ∫１ｄｘ ＝ ａ∫ｔｄｔ ｔで積分します。積分の公式により ｘ ＝ ａ・１／２・ｔ^2 ＋ 定数 ＝ １／２・ａｔ^2 ＋ 定数 ｔ＝０ のとき ｘ＝０ という約束があるので、定数＝０ です。 したがって、 ｘ ＝ １／２・ａｔ^2 となります。 では、直角三角形の面積がどうかというと、 底辺がｔ、高さがｖ なので 面積 ＝ ｔ × ｖ ÷ ２ ＝ ｔ × ａｔ ÷ ２ ＝ １／２・ａｔ^2 というわけで、上記と一致します。 ここまで来て、やっと、 「加速度ａが一定ならば、距離ｘは直角三角形の面積と同じになる」 （だから、平均速度は最終速度の２分の１と見てよい） と見てよいということがわかるわけです！！！！！ 次に、上記の結果が正しいかどうかを「検算」することを考えます。 ａｔ を ｔ で積分したら １／２・ａｔ^2 ＋ 定数 になるというのは正しいか？ ということです。 実は、中学生でも理解できます。 高校の後半で習うことなのに、中学生でも理解できるのです。 足し算の逆として考えられたのが引き算、掛け算の逆として考えられたのが割り算であることと同様に、 微分の逆として考えられたのが積分です。 微分というのは、中学で習う「一次関数の変化の割合（傾き）」を求めることと同じなんです。 ただし、今回のケースでは、距離と時刻の関係が一次関数ではないので、ちょっとだけワザを使います。 ワザとは言っても、Δという記号を使うだけですが。 時刻が ｔ から ｔ＋Δｔ まで変化するとき、距離が ｘ から ｘ＋Δｘ まで変化するとします。 すると 変化の割合 ＝ その瞬間の速さｖ ＝ ｛（時刻がｔ＋Δｔのときのｘ）－（時刻がｔのときのｘ）｝／｛（ｔ＋Δｔ）－ｔ｝ ＝ ｛（１／２・ａ（ｔ＋Δｔ）^2＋定数） － （１／２・ａｔ^2＋定数）｝／Δｔ ＝ １／２・ａ｛（ｔ＋Δｔ）^2 － ｔ^2）｝／Δｔ ＝ １／２・ａ｛（ｔ^2＋２ｔΔｔ＋Δｔ^2 － ｔ^2）｝／Δｔ ＝ １／２・ａ（２ｔΔｔ＋Δｔ^2）／Δｔ ここで、Δｔ というのは、非常に小さい数ですが、ゼロではないので、分子と分母をΔｔで割って約分できます。（これが‘ワザ’です。） ｖ ＝ １／２・ａ（２ｔ＋Δｔ） ＝ ａ（ｔ＋Δｔ） ここで、仕上げに、「Δｔ は非常に小さくてゼロと見てよい」という、‘ずるいワザ’を使えば、 ｖ ＝ ａｔ となります。 というわけで、 ｘ ＝ １／２・ａｔ^2 ＋ 定数 という式をｔで微分した結果が ｄｘ／ｄｔ ＝ ｖ ＝ ａｔ という、この問題の前提と一致しましたので、逆に言えば、 ｘ ＝ １／２・ａｔ^2 ＋ 定数 という積分が正しかったということになります。 ちなみに、角錐や円錐の体積の公式で、なぜ １／３ という変な係数がつくのかも、微積分をちょっと習うだけで簡単にわかるようになります。
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- Anti-Giants
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あなたが分からないのも無理ありません。 そもそも、このグラフから「平均速度」を求めるのは、高校数学の範囲です。 運動として扱うのも、物理の範囲です。 おそらく、中学の段階では「このようなグラフの場合、平均速度は～～である」と学習していると思います。なので、問題を解くには、「これはこういうもんだ」と割り切るしかありません。 それでも理解したいのであれば、次にように考えてはどうでしょうか。 グラフをみると、時速10+x(m/秒)だった瞬間と、時速10-x(m/秒)だった瞬間が同じだけ存在しています。すべてのxで、その二つの平均は10(m/秒)です。つまり、直線の真ん中の前後の速度の「平均」は真ん中の速度と同じ。
お礼
御回答ありがとうございます。 高校に行ったらこの疑問を真っ先に解決したいと思います。
- Willyt
- ベストアンサー率25% (2858/11131)
速さが０から２０ｍ/秒まで直線的に変化したのだから、横軸に秒、縦軸に速さをとったグラフ上での平均の速さが１０ｍ/秒だというのです。ちょっとだまされたような気になりますよね。よく分かります。もう少し勉強が進んで微分、積分が分かるようになるとその気分は氷解する筈です。微分、積分がわかるとグラフの縦軸に距離をとって話を進めることができるようになるからです。今は納得したつもりになってください。
お礼
回答ありがとうございます！ そうなんですか、高校へ 行ってから分かる事がたくさんありそうなので楽しみにしています。
お礼
御回答ありがとうございます。 まだ中三なので私には少し難しい内容ですが、ある程度 理解できました。 円錐や角錐の体積の公式で、１／３ がつくのは小学生の時から ずっと疑問に思っていました。 やはり今わからない事は次第に解決していくのですね。 詳しく回答してくださってありがとうございました。