命題「ＰならばＱ」が偽のとき、その対偶も偽であることを証明せよ

質問

命題「ＰならばＱ」が偽のとき、その対偶も偽であることを証明せよ

という問題がわかりません!!

教えて下さい!!

回答No.7

akatsuki_0

真理表を使えば一瞬ですが、直観主義論理の範囲内でも
￢(P→Q)├￢（￢Q→￢P）
は成り立ちます。

回答No.6

osn3673

ANo.5の訂正：すみません．
「∃x, ￢Px ∧ Qx」でなく「∃x, Px ∧ ￢Qx」です．対偶も同様．

回答No.5

osn3673

命題論理による説明でよいはずですが，述語論理による説明をご所望かも
知れませんので，Ｐ，Ｑの代わりに Px, Qx を用いて説明します．

Px である x の集合を A, Qx である x の集合を B とします．
A ⊂ B であれば「∀x, Px ⇒ Qx」，「∀x, ￢ Qx ⇒ ￢ Px」です．

「∀x, Px ⇒ Qx」が偽（A ⊂ B でない）のときは「∃x, ￢Px ∧ Qx」
で A の一部（全部でもよい）が B からはみ出ています．

「∀x, ￢ Qx ⇒ ￢ Px」が偽のときも「∃x, Qx ∧ ￢Px」で A，B の
関係は等しくなります．したがって元の命題が偽なら対偶も偽．

注１：{￢∀x, Px}⇔{∃x, ￢Px}
注２：単に『「Px ⇒ Qx」が偽のとき 』では証明できません．
　　　また「{∀x, Px} ⇒ {∀x, Qx}」の対偶なら真理値表で十分．

回答No.4

osn3673

ANo.3 のお答えでいいのですが，補足しますと「P → Q」とは
「～P + Q」((not P) or Q) のことです．つまり，記号論理学では
P が偽であれば Q に関係なく P→Q を真と考えます．

蛇足ですが，真理値表は

　P　　Q　　P→Q　　～Q→～P

　F　　F　　T+F=T　　F+T=T
　F　　T　　T+T=T　　T+T=T
　T　　F　　F+F=F　　F+F=F
　T　　T　　F+T=T　　T+F=T

回答No.3

OKXavier

「P→Q」と「～Q→～P」の２つの真理値表をつくり、
それぞれの真偽が一致していることを示せば、証明になります。

「～P」はPの否定で「Pでない」を意味します。

回答No.2

proto

「PならばQ」の真偽もその対偶の「QでないならばPでない」の真偽も、PとQの真偽によって決まる。
考えられる組み合わせは
　　P=真 , Q=真
　　P=真 , Q=偽
　　P=偽 , Q=真
　　P=偽 , Q=偽
の4通りしかない。

「PならばQ」の真理値表と「QでないならばPでない」の真理値表を並べて書けばよい。
並べて書いてみて、「PならばQ」が偽のときに「QでないならばPでない」も偽になっているか確かめればよい。
たったの4通りしかないので全ての場合をチェックすることは簡単。それで証明になる。

回答No.1

lord2blue

「ＰならばＱ」が偽
なので
”ならば”の定義より、
Ｐは真であるのにＱが偽である。

Ｐ…真　Ｑ…偽　…(1)

さて「ＰならばＱ」の対偶は「ＱでないならばＰでない」

(１)より、

Ｑ…偽

なので、与えられた命題の対偶が真ならば

Ｐ…偽

でなければならないが同様に(１)より

Ｐ…真

よって
命題「ＰならばＱ」が偽のとき、その対偶「ＱでないならばＰでない」も偽。

もう長い間こういう問題といてないので、言葉づかい、組み立て方を忘れましたが、内容はこういうことです。

失礼しました。