命題について

質問

いま、「数学は言葉」という本を読んでいます。

ｐ３８からｐ３９にかけて、

「証明できないような図形の命題をあげよ」という例題があります。

「ｘは三角形である。」

「ｘに代入する値によって、この命題の真偽は変化するのです。このような命題は証明することができません。」

とあるのですが、真偽が変化するのにどうして命題といえるのか。真偽が判定できるから命題というのではないのでしょうか。もちろん、証明できないから命題ではないと言えないのは分かりますが。例えば、三平方の定理とか。

さらにｐ３９のところで、

「三角形の２辺の長さの和は残る１辺の長さよりも短い」も図形の命題ですが、偽なる命題です。偽なる命題が証明されてしまっては困ります。
以上のことから、「自由な変数が含まれているため、真偽が定まらない命題」や「偽なる命題」は（枠組み自体が歪んでいない限り）証明できないことがわかります。

とあります。

「三角形の２辺の長さの和は残る１辺の長さよりも短い」は偽なのは分かりますが、証明できるものなのかどうかよく考えてみると少なくとも私には証明できません。ということはこれは「証明できない命題」なのでしょうか。もし証明できないとすれば例題の証明できない図形の命題ということになるのですが。さらに「偽なる命題が証明されてしまっては困ります。」とはどういう意味で書かれているのでしょうか。ピンとこないのです。

けっこう難しいと思うのですがわかりやすく説明できる方はいませんでしょうか。

宜しくお願いします。

回答No.2

noname#221368 · ベストアンサー

#1です。かなりわかりにくかったと思うので、補足です(^^;)。

＞・・・もし証明できないとすれば例題の証明できない図形の命題ということになるのですが。・・・

　「前半の証明できない」とは違います。前半は「証明行為が可能であるための一般的条件」について語っています。あなたの言う「私には証明できない」の「証明できない」は、「真である事を証明できない」という事であり「三角形の２辺の長さの和は残る１辺の長さよりも短い」という命題には、証明行為が可能です。実際「それが偽である事」は証明できますから。

＞・・・さらに「偽なる命題が証明されてしまっては困ります。」とはどういう意味で書かれているのでしょうか。ピンとこないのです。

　#1で述べたように、何かが偽である事を保証するためには、その逆が真である事を証明するしか論理的には手がないんですよ。だって偽である何かを真とする論理手続きは、論理的にあり得ないからです。だから何かが偽である事を示すには、反例を上げるという具体的手段に訴える場合も、多々あります。

　つまり「偽なる命題が（真であると）証明されてしまっては困ります。」とは、これからやって行く数学では、そういう事は絶対起こらないよ、という意味です。これがあるので「その逆が真である事を証明する」事によって、「「それが偽である事」を証明した」事にもなるんですよ。

　偽なる命題が、真と証明されてしまうような論理を持つ理論は、矛盾した理論と言われます。矛盾した理論では、あらゆる証明可能な命題を、真にも偽にもできる事が論理的に示されます。

　この後、そういう話が出てくるかも知れませんね(^^)。

回答No.3

noname#221368

#2です。

＞これはある命題が偽であることを直接的に証明するのが難しいとき、その命題の逆が正しいことを証明することによってその命題が偽であることを証明することがあるとおもうのですが・・・

　実際上の行為としては、そういう意味で言ってます。反対のケースもあり得ます。

　自分は、「（色々準備して・・・）あ～たらなので、これは不可。よって逆が正しい」なんていう証明をときどき書きます。これは偽の直接証明に見えますが、論理上は逆が真である事の間接証明とみなされます（面倒な話だ(^^;)）。命題の逆が正しいことを直接証明するのが難しい場合です。

＞・・・「保証」すると出てきますが、この言葉は「証明」と分けて考える必要があるのでしょうか。

　ないです。「証明」の意味で使ってます。

＞・・・ある偽の命題があるとします。そして、この命題が偽であることを証明できたとします。しかし、これは真であることは証明できないわけですから、やはり用語の問題といいましょうか、この場合、「証明できない命題」という言い方をするのでしょうか。

　なれと習慣から「証明できない命題」って言っちゃうんですよ。「真である事ばっかりを証明しようとする」癖がついてるからです(^^;)。

お礼

けっこう一筋縄ではいかず、奥の深いテーマですが、

なので説明しにくいところだと思うのですが、

わかりやすい説明で助かりました。

どうもありがとうございました。

回答No.1

noname#221368

一般的に、「命題＝勝手な主張」と思っていいです。なので真偽が変化しても命題は命題です。ちょっとわかりにくいですが、「ｘは三角形である。」では、xに具体的なものを代入したとき、真偽がそれに応じて決まるので命題です。

　　「２等辺三角形は三角形」⇒真．　「四角形は三角形」⇒偽．　「赤は三角形」⇒偽．

という風に。・・・というか、こいうものも「命題と呼ぼう」と決めたんですよ(^^;)。それは主に便利さからです。

　しかしこういうものは「証明行為」の対象にはなりません。「証明」は、真偽が確定した命題に対して行う論理手続きです。そうでない論理手続き（多くは屁理屈）は、証明とは呼ばないよ、という事です。

　つまり「真偽が判定できる（わかる）」と「確定する」の違いです。論理の話では、こういう微妙な言い回しで良くつまづきます(^^;)。

＞「三角形の２辺の長さの和は残る１辺の長さよりも短い」は偽なのは分かりますが、証明できるものなのかどうかよく考えてみると少なくとも私には証明できません。ということはこれは「証明できない命題」なのでしょうか。

　そうです。こいつはさらにわかりにくいんですが、この命題は、「真である事は証明できない」が「偽である事は証明できる」命題です。

　そして「偽である事が証明できる」ならその逆、「三角形の２辺の長さの和は残る１辺の長さ以上」を必ず証明できます。

　そのカラクリは、・・・。

　「三角形の２辺の長さの和は残る１辺の長さ以上」を証明できた、と想像して下さい。普通はこう攻めますよね？。で、「以上」の方を証明できたなら、「短い」方は証明できる訳ないですよね（偽だから）。これが普通のやり方ですよね？。

　上記は「「以上」の証明」が、「「短い方は証明できない事」を証明した」事にも自動的になる事を示しています。こう考えて良い事を保証するのが論理です。

　しかしそうすると、ちょっと戸惑う事態になります。「何かが偽である事」を示すためには、「その逆が真である事」を証明する必要に迫られるからです。

　その結果数学では、「真であるであろう命題ばっかり証明したがる」事になります・・・(^^;)。

補足

くわしいご回答どうもありがとうございます。

けっこう分かりやすいです。

最後のほうに、

『しかしそうすると、ちょっと戸惑う事態になります。「何かが偽である事」を示すためには、「その逆が真である事」を証明する必要に迫られる』

とありますが、

これはある命題が偽であることを直接的に証明するのが難しいとき、その命題の逆が正しいことを証明することによってその命題が偽であることを証明することがあるとおもうのですが、
そういう意味で言われているのでしょうか。それとも他に何か別の意味で言われているのでしょうか。
それから、もう一つの回答に「保証」すると出てきますが、この言葉は「証明」と分けて考える必要があるのでしょうか。

それから、少し混乱しているのですが、ある偽の命題があるとします。そして、この命題が偽であることを証明できたとします。しかし、これは真であることは証明できないわけですから、やはり用語の問題といいましょうか、この場合、「証明できない命題」という言い方をするのでしょうか。（理解不足、知識不足ですいません。）

ややこしくてすいません。宜しくお願いします。