背理法による証明と対偶による証明法について

質問

自分の使っている参考書に
「対偶による証明法も一種の背理法と考えることができる。

命題p→qが真であることをいうために￣q(qでない)と仮定して￣pが導かれたとする。

pではないからこれは矛盾で背理法が成立したことになる。

でも￣qならば￣pとは文字通り、これは対偶のことでこの対偶が真といえたから自動的に命題が真といってもいい」

と書かれているのですがいまいち意味がわかりません。
どういうことなのでしょうか?
数1の内容なのですがあまり数学が得意ではないので簡単に教えていただけると助かります
よろしくお願いします。

回答No.3

jmh

「命題ｐ⇒ｑを証明せよ」といわれて、その対偶「￢ｑ⇒￢ｐ」を証明できたとします。でも、まだ「命題ｐ⇒ｑ」自体を証明できたワケではないです。
しかし「￢ｑ⇒￢ｐ」から、_背理法_で「ｐ⇒ｑ」を導けると思います：
背理法で「ｐ⇒ｑ」を導く。「ｐ⇒ｑ」でないとする。"つまり"「ｐだけどｑでない」とする。「ｑでないならｐでない（対偶は証明済み）」ので、結局「ｐだけどｐでない」（これが矛盾）。

…と書いてあるような気がします。

> 「対偶による証明法も一種の背理法と考えることができる。
>
これは「背理法を使わなければ対偶から元の命題を導くことはできない」というコト？

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

私が前に調べたときはこんあかんじでした。

1) 証明したい命題を P とする。
つまり P を恒真命題であることを示したいとする。

2) 適当な恒真命題　￢P→Q を見つけ出す。
3) Q が恒偽命題であること示す。
4) ￢P→Q の対偶 ￢Q→P も恒真命題だから ￢Q が恒真命題なら Pは恒真命題

例
P= √2 は無理数である。
￢P→Q は√2 が有理数ならば互いに素な偶数が存在する。
Qは恒偽命題なので Pは恒真命題

私はこれは背理法ではないと考えていますが、人により考え方が
異なるようですね。

回答No.1

ラーンズ（@Larnse）

こんにちわ。
ご質問に回答させて頂きます。

命題「pならばq」の真偽と
その対偶「￣qならば￣p」の真偽は一致します。

つまり、
命題「pならばq」が真ならば、その対偶「￣qならば￣p」も真です。
命題「￣qならば￣p」が真ならば、その対偶「pならばq」も真です。

高校生なら「ある命題と その対偶の真偽は一致する」と覚えておけば良いと思います。
私は高校時代、そう覚えました。

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具体例を挙げて説明すると以下のようになります。

命題「リンゴならば赤い」は真ですよね？
この命題の対偶は、
「赤く無いならばリンゴではない」
になりますが、これも真ですよね？

つまり、もとの命題と その対偶の真偽が一致していることが分かると思います。