対偶法も背理法の一種という考え方について

質問

あるテキストの「対偶法も背理法の一種として考えることが出来る」ということについての説明で

命題「pならばq」を証明する過程で、「￢qならば￢p」が証明できたとする。

「pならばq」を背理法で証明するために「pならば q」を否定して「pかつ￢q」。
証明されている「￢qならば￢p」はpではないので
「pかつ￢p」となり矛盾。
背理法が成立して「pならばq」は真。
対偶法なら
「命題「pならばq」を証明する過程で、「￢qならば￢p」が証明できたとする。」の段階で自動的に命題が真といっていい。

という説明があるのですが
なぜこれが「対偶法も背理法の一種として考えることが出来る」ということになるのか理解できず
出版社に問い合わせたところ

「対偶が成り立つので、矛盾が生じ、背理法が成立する。
よって、元の命題が成立する」
ということのようなのですがいまいち理解が出来ません。

私の考えでは、

対偶法による証明法の場合、対偶が証明された時点で自動的に命題は真である、と考えますが
対偶をつかって背理法によって命題が真であることを証明できるので
対偶が証明されたあと、自動的に命題が真であるということではなく
背理法によって命題が真であると言っているということが出来るので
対偶による証明法も一種の背理法と考えることができる

ということだと思ったのですが、出版社の説明と私の考えはどのあたりが違うのでしょうか？
私はあまり数学が得意ではなく、これも数Iのレベルのものなので
そんな私でも理解できるように説明していただけると助かります。
よろしくお願いします。

この質問とは違うのですが、これら関する質問を以前ここでさせてもらい、参考にさせてもらいました。
その時回答をしてくださった方ありがとうございました。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

証明論というジャンルに属する質問です。

どういう証明の方法があるか、どういう証明が正しいか
を数学の対象とするためには、証明とは何かを定義して
その上で議論しなければなりません。
証明に使える道具をリストアップして始めることになるのですが、
その際、証明の定義の中に対偶法と背理法は一方が含まれていれば
十分で、対偶法から背理法が、背理法から対偶法が
正しい証明だと証明できます。

「あるテキスト」の文章の前半は、
背理法を使って対偶法なしで済ます方法を説明しているのです。
反対に、証明の定義の中で対偶法の使用が許されている場合は、
背理法なしで済ますことができます。
「対偶法なら～自動的に命題が真といっていい」の部分は、
背理法がない証明の定義の下で対偶法を直接使う方法を指しています。

あなたの「考え」は、前半のほうの説明に沿っていますが、
テキスト後半の考えでもよいのです。どちらか一方を選ぶ必要があります。
どちらを選んでもいいということが、対偶法と背理法の等価性であり、
立場が違えば、「背理法も対偶法の一種」だとも言えるのです。

#余談ですが…
あなたのプロフィールを拝見しましたが、質問履歴が非公開になっており、
今回質問と関連ある以前の質問を確認できませんでした。
継続性のある質問をする場合は、あなたの悩んでいる箇所がどこかを
回答者が把握する助けとするために、質問履歴を公開するとよいです。
前回質問と同じ回答の繰り返しになることが避けられます。