「逆は必ずしも真ならず」の証明ってできますか？

質問

ある命題「PならばQ」とその対偶「QでないならばPでない」は、真偽が合致することの証明法は、ド・モルガンの法則を使えば証明できるといわれています。
では、ある命題「PならばQ」とその逆「QならばP」は、真偽は合致する場合もあればしない場合もありますが、「命題が正しくても逆が正しいとは限らないこと」は、証明可能でしょうか？

回答No.5

quantum2000 · ベストアンサー

Ｎｏ．１，２，３さんのおっしゃるとおり，反例を１つでも挙げればよいのでは？

「反例」の例：
　　命題　「ｘ＞０ ならば ｘ^2＞０」は正しいが，
　　その逆「ｘ^2＞０ ならば ｘ＞０」は正しくない．
とか・・・

という訳で，実際に
　　「命題が正しくても逆が正しいとは限らない」
という例が少なくとも１つはあるから，
　　「命題が正しくても逆が正しいとは限らない」
は証明できた！？？

なお，念のために，
　　「命題が正しいとき，常に，その逆は正くない」
は証明できません．（正しくありません．偽です．）

お礼

「命題が正しくても逆が正しいとは限らない」ケースがあることを示すことが、「命題が正しくても逆が正しいとは限らない」ことを証明するのですか…
ありがとうございました。

回答No.4

chiropy

真でないことの証明は一つでもその反例を挙げればいいです。
後はNo.1さんのように何か適当なものを考えてやればOKです。

お礼

シンプルですが、これが一番わかりやすいのかもしれませんね。
ありがとうございました。

回答No.3

noname#16799

数学は詳しくありませんが、逆が正しい例と正しくない例をひとつでも示すことができれば正しいとは限らないを証明したことになりませんか。そんな簡単な話でなければすいません。

参考URL：

http://www.ztv.ne.jp/web/ms-kudoh/Math_002(Thesie).html

お礼

ありがとうございました。
命題が正しくないことを示すには、成り立たないケースを示せばいいのですよね。

回答No.2

oobdoo

命題が成り立たないことを示すには、反例を挙げれば良いです。

P⊂QかつQ⊂P⇒P=Qより,P=Qでない場合はどちらかの包含関係が成り立たないことからも証明できます。

お礼

＞P⊂QかつQ⊂P⇒P=Qより,P=Qでない場合はどちらかの包含関係が成り立たないこと
これなら、ストレートで証明できそうですね。
ありがとうございました。

回答No.1

tuort_sig

命題「人間ならば動物である」は真
逆は「動物ならば人間である」これは？偽ですよね？これで証明できてませんかね？

お礼

たしかにそうですね。
ありがとうございました。