対偶を証明する目的

質問

命題を証明するとき、もとの命題ではなく、対偶を証明するときはありますよね。

例えば３の倍数の２乗は３の倍数になる。

これの証明をしているものは、これの対偶を証明しています。
でも、別にそのままでも証明できますよね。
この問題では、もとの命題のまま証明するとダメなのでしょうか？

回答よろしくお願いします。

回答No.4

kamiyasiro · ベストアンサー

企業でSQCの推進を担当しているものです。

対偶は、とても重要なことで、QCサークルなどで、教育しています。
たとえば、次の仮説を証明したいとします。

「Aという性質を持ったロットであれば、良品になる。」

この仮説を確認する場合、調査対象となる「良品」は数が多すぎます。
それに、良品は、出荷してしまって手元にありません。
この時、対偶を使います。対偶は論理的に正しいからです。

対偶は、「不良品であれば、Aという性質はない。」です。

不良品を全部調べて、Aという性質が無ければ、最初の仮説は合っています。
「４枚カード問題」というようなゲームを使いながら教育をやっています。

回答No.3

noname#195146

どちらでも証明できる、さらには対偶を用いないほうが証明が簡単なのに対偶を用いた証明が教科書や参考書にあるのは、対偶を使う練習の意味があるんでしょうね。背理法も同様です。

　人によっては対偶や背理法を用いることを嫌ったりします。その背景には、直観主義という数学の流れがあったりするようです。

　対偶が便利な例として、「素数なら奇数である」という命題の真偽の判定があります。そのまま証明しようとすると、素数とは何かということを数学的に定義してから、真偽を調べることになりますが、それはなかなか難しいです。

　そこで対偶にして、「偶数なら素数でない」なら調べやすくなります。2さえなければ対偶は真ですが、2は素数であるため対偶は偽、そして元の命題も偽となります。

P.S.

　もちろん、いきなり2という素数を思い付ければ、それを反例として元の命題を否定できます。私は愚鈍なので、対偶にしてから気づいたわけなんですが。

http://www.nhk.or.jp/hanamichi/p2012/120709.html

の「思い込みに気づく 問題に挑戦！」などですと、命題と対偶の両方を使って条件を探る便利さが、もう少しはっきりするかもしれません。

回答No.2

anisakis

命題と対偶の真偽は必ず一致するのでどっちでもいいです。
結局証明しろってことが本筋なので自分が簡単だと思う方法でやればいいですよ

回答No.1

j-mayol

別にそのまま証明しても構いません。
対偶をとるのは元の命題のままでは証明が面倒な場合にそれを避けるというのが最大の目的だと思いますので、元の命題のまま簡単に証明できるのであれば対偶を使う必要はないでしょう。