命題の証明

質問

教科書の復習で、練習問題を解いてますが、解けない問題があるのでお願いします。
x,yは実数とする。対偶を考えて、次の命題を証明せよ。
x+y＞0⇒「x＞0またはy＞0」
という問題で、
この命題の対偶は次の命題である。
x+y≦0⇒「x≦0かつy≦0」
と、ここまでは書いたのですが、ここからどうすればよいのか・・・。

回答No.1

fushigichan · ベストアンサー

inaba19さん、こんにちは。

＞x+y＞0⇒「x＞0またはy＞0」
という問題で、
この命題の対偶は次の命題である。
x+y≦0⇒「x≦0かつy≦0」

惜しい！！
否定をとるところは、合っているのですが、

命題Ｐ→Ｑ　の対偶は、Ｑバー→Ｐバーです。

命題x+y＞0⇒「x＞0またはy＞0」
の対偶は、

「x≦0,かつy≦0」→x+y≦0・・・(1)

となります。
(1)を示せばいいですね。

x≦0ですから、この両辺にyを加えて、

x+y≦yとなります。
ところが、y≦0でしたから、x+y≦0となって(1)が成り立ちます。

よって、もともとの命題の対偶が証明されたので、

x+y＞0⇒「x＞0またはy＞0」

という命題は、真である、ということが証明されました。

お礼

では私は対偶ではなく裏をかいていたんですね？
説明参考にします。ありがとうございました。